Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
\mathrm{F}=\bar{X} . Z+(X \oplus W)+X . \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X} . Y . \bar{W} . Z
(b) X(\bar{X}+Y)=X Y

Passo 1

O enunciado fornece a expressão booleana
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z+(X \oplus W)+X\cdot \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X}\cdot Y\cdot \bar{W}\cdot Z
e pede para simplificá‑la usando teoremas da álgebra booleana.
Além disso pede provar a identidade
X(\bar{X}+Y)=X Y.
As informações relevantes dadas são: a expressão completa de \mathrm{F}, a ocorrência de \oplus (XOR) e de \odot (AND), e a segunda igualdade a ser demonstrada.

Passo 2

Primeiro transformar operadores compostos em soma de produtos (forma canônica parcial). Lembrando que X\oplus W = X\bar{W}+\bar{X}W e que W\odot Z é simplesmente W\cdot Z. Então:
\mathrm{F}=\bar{X}Z+\bigl(X\bar{W}+\bar{X}W\bigr)+X\bar{Y}+WZ+\bar{X}Y\bar{W}Z.
Aqui cada símbolo está em notação de produto/parcela: por exemplo \bar{X}Z significa \bar{X}\cdot Z.

Passo 3

Agrupar os termos que contêm Z, porque há três termos com Z:
\bar{X}Z+WZ+\bar{X}Y\bar{W}Z = Z\bigl(\bar{X}+W+\bar{X}Y\bar{W}\bigr).
Aplicar a lei de absorção (se A aparece sozinho, então A+AB=A). Aqui \bar{X}+ \bar{X}Y\bar{W}=\bar{X} porque \bar{X} absorve \bar{X}Y\bar{W}. Portanto
Z\bigl(\bar{X}+W+\bar{X}Y\bar{W}\bigr)=Z\bigl(\bar{X}+W\bigr).

Passo 4

Substituindo o resultado do passo anterior de volta em \mathrm{F}, obtemos:
\mathrm{F}=Z\bigl(\bar{X}+W\bigr)+X\bar{W}+\bar{X}W+X\bar{Y}.
(Repare que os demais termos X\bar{W}, \bar{X}W e X\bar{Y} ficaram explícitos.)

Passo 5

Agrupar e fatorar termos por X e por \bar{X} quando for conveniente. Primeiro fatorando os termos com X:
X\bar{W}+X\bar{Y}=X\bigl(\bar{W}+\bar{Y}\bigr).
Expandindo Z(\bar{X}+W) para ver outras possíveis fatorações: Z(\bar{X}+W)=\bar{X}Z+WZ. Agora reescrevendo \mathrm{F}:
\mathrm{F}=\bar{X}Z+WZ+\bar{X}W+X\bigl(\bar{W}+\bar{Y}\bigr).

Passo 6

Agrupar os termos com \bar{X}: \bar{X}Z+\bar{X}W=\bar{X}(W+Z). Assim:
\mathrm{F}=\bar{X}(W+Z)+WZ+X\bigl(\bar{W}+\bar{Y}\bigr).
Esta forma já mostra fatores agrupados e é consequência direta das leis distributiva e de absorção aplicadas antes.

Passo 7

Verificar se algum termo é redundante (para garantir que não se eliminou algo indevidamente). Por exemplo, o termo WZ não é absorvível pelas outras parcelas quando X=1 e Y=1: tomar X=1,\;W=1,\;Z=1,\;Y=1 WZ=1 enquanto \bar{X}(W+Z)=0 e X(\bar{W}+\bar{Y})=1\cdot(0+0)=0. A versão original também dá valor 1 nessa combinação por causa de WZ. Então WZ é necessário e não pode ser eliminado. Portanto a expressão do passo anterior é válida e minimizada dentro das manipulações algebraicas usadas.

Passo 8

Conclusão final da simplificação apresentando a forma compacta obtida:
\mathrm{F}=\bar{X}(W+Z)+WZ+X\bigl(\bar{W}+\bar{Y}\bigr).
Esta forma foi obtida usando expansão do XOR, fatoração, leis de absorção e distributividade.

Passo 9

Agora a parte (b). Demonstrar a identidade \,X(\bar{X}+Y)=XY.
Usar distributiva e a lei do complemento ( X\bar{X}=0) e a identidade neutra ( 0+A=A):
X(\bar{X}+Y)=X\bar{X}+XY=0+XY=XY.
Portanto a identidade está provada.

Resposta

\mathrm{F}=\bar{X}(W+Z)+WZ+X\bigl(\bar{W}+\bar{Y}\bigr)
\;X(\bar{X}+Y)=XY

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