Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
(b)
Passo 1
O enunciado fornece a expressão booleana
e pede para simplificá‑la usando teoremas da álgebra booleana.
Além disso pede provar a identidade
Além disso pede provar a identidade
As informações relevantes dadas são: a expressão completa de
, a ocorrência de
(XOR) e de
(AND), e a segunda igualdade a ser demonstrada.
Passo 2
Primeiro transformar operadores compostos em soma de produtos (forma canônica parcial). Lembrando que
e que
é simplesmente
. Então:
Aqui cada símbolo está em notação de produto/parcela: por exemplo
significa
.
Passo 3
Agrupar os termos que contêm
, porque há três termos com
:
Aplicar a lei de absorção (se
aparece sozinho, então
). Aqui
porque
absorve
. Portanto
Passo 4
Substituindo o resultado do passo anterior de volta em
, obtemos:
(Repare que os demais termos
,
e
ficaram explícitos.)
Passo 5
Agrupar e fatorar termos por
e por
quando for conveniente. Primeiro fatorando os termos com
:
Expandindo
para ver outras possíveis fatorações:
. Agora reescrevendo
:
Passo 6
Agrupar os termos com
:
. Assim:
Esta forma já mostra fatores agrupados e é consequência direta das leis distributiva e de absorção aplicadas antes.
Passo 7
Verificar se algum termo é redundante (para garantir que não se eliminou algo indevidamente). Por exemplo, o termo
não é absorvível pelas outras parcelas quando
e
: tomar
dá
enquanto
e
. A versão original também dá valor 1 nessa combinação por causa de
. Então
é necessário e não pode ser eliminado. Portanto a expressão do passo anterior é válida e minimizada dentro das manipulações algebraicas usadas.
Passo 8
Conclusão final da simplificação apresentando a forma compacta obtida:
Esta forma foi obtida usando expansão do XOR, fatoração, leis de absorção e distributividade.
Passo 9
Agora a parte (b). Demonstrar a identidade
.
Usar distributiva e a lei do complemento (
) e a identidade neutra (
):
Portanto a identidade está provada.