Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
\mathrm{F}=\bar{X} . Z+(X \oplus W)+X . \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X} . Y . \bar{W} . Z
(b) \quad(X+Y) \cdot(X+Z)=X+(Y Z)

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão booleana
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z+(X \oplus W)+X\cdot\bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X}\cdot Y\cdot\bar{W}\cdot Z
e pede para simplificá-la utilizando teoremas. Também pede para tratar a identidade
(X+Y)\cdot(X+Z)=X+(Y Z).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os operadores são: \cdot (AND), + (OR), \bar{\cdot} (complemento, NOT), \oplus (XOR).
  • O símbolo \odot será tratado aqui como AND (produto lógico), isto é, W\odot Z=W\cdot Z.
  • As perguntas são:
    1. Simplificar \mathrm{F}.
    2. Mostrar/simplificar (X+Y)\cdot(X+Z) e obter a forma X+(Y Z).

Passo 2

Primeiro passo prático: expandir o XOR com a sua forma em soma de produtos. Lembrando a identidade do XOR:
X\oplus W = X\bar{W}+\bar{X}W.
Substituindo isso e também substituindo \odot por \cdot, escrevemos \mathrm{F} totalmente em soma de produtos:
\mathrm{F}=\bar{X}Z + (X\bar{W}+\bar{X}W) + X\bar{Y} + WZ + \bar{X}Y\bar{W}Z.

Passo 3

Aplicar a propriedade de absorção A + A B = A para eliminar termos redundantes. Observe que o último termo \bar{X}Y\bar{W}Z contém \bar{X}Z como fator comum (pois \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z\cdot(Y\bar{W})). Como já existe o termo \bar{X}Z, temos:
\bar{X}Z + \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z.
Portanto podemos eliminar o termo mais específico. Assim:
\mathrm{F}=\bar{X}Z + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y} + WZ.

Passo 4

Agrupar termos por fatores em X e \bar{X} para ver estrutura e aplicar teoremas:
  • Agrupar os que têm \bar{X}: \bar{X}Z + \bar{X}W = \bar{X}(W+Z).
  • Agrupar os que têm X: X\bar{W} + X\bar{Y} = X(\bar{W}+\bar{Y}).
    Restando o termo WZ. Portanto:
\mathrm{F}=\bar{X}(W+Z) + X(\bar{W}+\bar{Y}) + WZ.
Aqui usei a distributiva do AND sobre OR e a propriedade associativa/comutativa para reordenar.

Passo 5

Explicar e verificar se dá para simplificar mais: a forma
\mathrm{F}=\bar{X}(W+Z) + X(\bar{W}+\bar{Y}) + WZ
é já bastante condensada. Vamos ver se algum termo é absorvível ou redundante:
  • O termo WZ não é absorvido por \bar{X}(W+Z), pois existe a situação X=1,\;W=1,\;Z=1,\;Y=1 em que \bar{X}(W+Z)=0 e X(\bar{W}+\bar{Y})=0, mas WZ=1. Logo WZ é necessário.
  • Também não há possibilidade de absorver X(\bar{W}+\bar{Y}) nos outros termos nem vice-versa, sem perda de informação. As tentativas usuais de aplicar o teorema do consenso aqui não eliminam WZ nem os termos com X e \bar{X} simultaneamente.
Portanto a expressão já está em uma forma simplificada e clara, que mostra os três blocos lógicos que cobrem todos os casos.

Passo 6

Dar uma versão alternativa equivalente (opcionalmente útil em prova): podemos reescrever
\mathrm{F}=X(\bar{W}+\bar{Y})+\bar{X}(W+Z)+WZ
ou, expandindo parcialmente,
\mathrm{F}=X\bar{W}+X\bar{Y}+\bar{X}W+\bar{X}Z+WZ,
sendo que a segunda forma é uma soma de produtos curta e a primeira mostra a separação por \{X,\bar{X}\}.

Passo 7

Agora tratar a parte (b). Provar a identidade
(X+Y)\cdot(X+Z)=X+(Y Z).
Fazer com um desenvolvimento simples e usando propriedades básicas:
  1. Expandir pelo distributivo:
(X+Y)(X+Z)=XX + XZ + XY + YZ.
  1. Usar XX=X (idempotência) e reagrupar:
= X + XZ + XY + YZ.
  1. Usar absorção X + XZ = X e X + XY = X, então ambos XZ e XY ficam absorvidos por X:
= X + YZ.
Isso prova a identidade pedida.

Resposta

\mathrm{F}=X(\bar{W}+\bar{Y})+\bar{X}(W+Z)+WZ
(X+Y)\cdot(X+Z)=X+(Y Z)

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