Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão booleana
e pede para simplificá-la utilizando teoremas. Também pede para tratar a identidade
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os operadores são:
(AND), (OR), (complemento, NOT), (XOR). - O símbolo
será tratado aqui como AND (produto lógico), isto é, . - As perguntas são:
- Simplificar
. - Mostrar/simplificar
e obter a forma .
- Simplificar
Passo 2
Primeiro passo prático: expandir o XOR com a sua forma em soma de produtos. Lembrando a identidade do XOR:
Substituindo isso e também substituindo
por
, escrevemos
totalmente em soma de produtos:
Passo 3
Aplicar a propriedade de absorção
para eliminar termos redundantes. Observe que o último termo
contém
como fator comum (pois
). Como já existe o termo
, temos:
Portanto podemos eliminar o termo mais específico. Assim:
Passo 4
Agrupar termos por fatores em
e
para ver estrutura e aplicar teoremas:
- Agrupar os que têm
: . - Agrupar os que têm
: .
Restando o termo. Portanto:
Aqui usei a distributiva do AND sobre OR e a propriedade associativa/comutativa para reordenar.
Passo 5
Explicar e verificar se dá para simplificar mais: a forma
é já bastante condensada. Vamos ver se algum termo é absorvível ou redundante:
- O termo
não é absorvido por , pois existe a situação em que e , mas . Logo é necessário. - Também não há possibilidade de absorver
nos outros termos nem vice-versa, sem perda de informação. As tentativas usuais de aplicar o teorema do consenso aqui não eliminam nem os termos com e simultaneamente.
Portanto a expressão já está em uma forma simplificada e clara, que mostra os três blocos lógicos que cobrem todos os casos.
Passo 6
Dar uma versão alternativa equivalente (opcionalmente útil em prova): podemos reescrever
ou, expandindo parcialmente,
sendo que a segunda forma é uma soma de produtos curta e a primeira mostra a separação por
.
Passo 7
Agora tratar a parte (b). Provar a identidade
Fazer com um desenvolvimento simples e usando propriedades básicas:
- Expandir pelo distributivo:
- Usar
(idempotência) e reagrupar:
- Usar absorção
e , então ambos e ficam absorvidos por :
Isso prova a identidade pedida.