Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
\sum_{m=0}^{\infty} \frac{e^{m}}{e^{m}+m}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{m=0}^{\infty} \frac{e^{m}}{e^{m}+m}
e pede para concluir se ela converge ou diverge usando o teste da comparação ou comparação no limite. Vamos usar o fato de que se os termos não tendem a zero, a série necessariamente diverge, e também podemos fazer uma comparação direta com uma série divergente.

Passo 2

Para m\ge1 temos e^{m}>m, logo
e^{m}+m < e^{m}+e^{m} = 2\,e^{m}.
Isso implica
\frac{e^{m}}{e^{m}+m} > \frac{e^{m}}{2\,e^{m}} = \frac12.

Passo 3

Assim, para todo m\ge1,
\frac{e^{m}}{e^{m}+m} > \frac12.
Portanto a soma parcial a partir de m=1 satisfaz
\sum_{m=1}^{N}\frac{e^{m}}{e^{m}+m} > \sum_{m=1}^{N}\frac12 = \frac{N}{2},
e como \frac{N}{2}\to\infty quando N\to\infty, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados