Utilizando o teste de comparação com limite, determinar a convergência/divergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 2-(sin 3 n)^22^n+n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^inftyan, an = 2 - (sin 3n)^22^n + n^2 + 1
usando o teste de comparação com limite. O conteúdo é séries de termos positivos e comparação com uma série geométrica convergente.

Passo 2

Note que
0 <= sin^2(3n)<= 1 Longrightarrow 1 <= 2 - sin^2(3n)<= 2
Logo an>0 e o numerador oscila entre 1 e 2, mas nunca cai a zero.

Passo 3

Escolhemos como série comparadora a geométrica
bn = 12^n,
que sabemos convergir, pois é geométrica com razão 1/2<1.

Passo 4

Vamos ao quociente
anbn = (2-sin^2(3n));2^n2^n+n^2+1 = 2-sin^2(3n)1 + dfracn^2+12^n
Como dfracn^2+12^nto0 quando ntoinfty, para n grande temos
1 ;=;min(2-sin^2(3n)) ;<=; 2-sin^2(3n)1 + (n^2+1)/2^n ;<=; max(2-sin^2(3n)) ;=;2
Isto é, existem constantes c=1 e C=2 tais que, para n suficientemente grande,
0< c <= anbn <= C<infty
Pelo teste de comparação por limites (ou versão estendida), como sum bn converge e o quociente fica entre constantes positivas, concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty 2-(sin 3 n)^22^n+n^2+1
converge.

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