Utilizando o teste de comparação com limite, determinar a convergência/divergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
usando o teste de comparação com limite. O conteúdo é séries de termos positivos e comparação com uma série geométrica convergente.
Passo 2
Note que
Logo
e o numerador oscila entre 1 e 2, mas nunca cai a zero.
Passo 3
Escolhemos como série comparadora a geométrica
que sabemos convergir, pois é geométrica com razão
.
Passo 4
Vamos ao quociente
Como
quando
, para
grande temos
Isto é, existem constantes
e
tais que, para
suficientemente grande,
Pelo teste de comparação por limites (ou versão estendida), como
converge e o quociente fica entre constantes positivas, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
converge.