CALCULE A DERIVADA DAS FUNCTÕES
f(x)=e^2 xcos 4 x+x^2 ln (sen^2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^2xcos(4x) ;+; x^2,lnl(sen^2xr)
O conteúdo principal envolve regras de derivação: regra do quociente, regra do produto e regra da cadeia (para funções compostas como exponencial, cosseno, seno e logaritmo).

Passo 2

Derivando o primeiro termo e^2xcos(4x) pela regra do quociente,
definimos u(x)=e^2x e v(x)=cos(4x). Então
u'(x)=2e^2x, v'(x)=-sin(4x)cdot4=-4sin(4x)
Pela regra do quociente,
gl(uvgr)' = u',v - u,v'v^2 = 2e^2xcos(4x);-;e^2xl(-4sin(4x)r)cos^2(4x)
Fatorando e^2x:
e^2xl(2cos(4x)+4sin(4x)r)cos^2(4x) = 2,e^2xl(cos(4x)+2sin(4x)r)cos^2(4x)

Passo 3

Derivando o segundo termo x^2ln(sen^2x) pela regra do produto,
l(x^2r)'=2x,
e precisamos de l[ln(sen^2x)r]'. Usamos a regra da cadeia:
ddxlnl(sen^2xr) = 1sen^2xcdotddxl(sen^2xr) = 1sen^2xcdot2sen xcos x = 2sen xcos xsen^2x =2cot x
Logo, pela regra do produto,
ddxl[x^2ln(sen^2x)r] =2xln(sen^2x)+x^2cdot2cot x

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =underbrace2,e^2xl(cos(4x)+2sin(4x)r)cos^2(4x)derivada do quociente ;+; underbracel(2xln(sen^2x)+2x^2cot xr)derivada do produto

Resposta

f'(x) =2,e^2xl(cos(4x)+2sin(4x)r)cos^2(4x) ;+; 2xlnl(sen^2xr) ;+; 2x^2cot x

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