Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral na série
O conteúdo é o teste da integral para séries: definimos uma função contínua, positiva e decrescente
tal que
seja o termo geral da série. Então comparamos a convergência de
com a da série.
Passo 2
Definimos
Para aplicar o teste da integral precisamos checar que
e
quando
.
- Claramente
para , logo . - Calculando a derivada:
para todo
. Logo
é decrescente nessa região.
Passo 3
Agora avaliamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
, então
e
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 4
Como a integral diverge (
), pelo teste da integral a série
também diverge.
também diverge.
Resposta
A série diverge.