Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente:
sumn=2^infty 3 nn^2-2

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral na série
sumn=2^infty3nn^2-2
O conteúdo é o teste da integral para séries: definimos uma função contínua, positiva e decrescente f(x) tal que f(n) seja o termo geral da série. Então comparamos a convergência de
integral2^inftyf(x),dx
com a da série.

Passo 2

Definimos
f(x)=3xx^2-2, x>=2
Para aplicar o teste da integral precisamos checar que f(x)>0 e f'(x)<0 quando x>=2.
  1. Claramente x^2-2>0 para x>=2, logo f(x)>0.
  2. Calculando a derivada:
f'(x) =3(x^2-2)-3xcdot2x(x^2-2)^2 =3x^2-6-6x^2(x^2-2)^2 =-3x^2-6(x^2-2)^2<0
para todo x>=2. Logo f é decrescente nessa região.

Passo 3

Agora avaliamos a integral imprópria
integral2^infty3xx^2-2,dx
Fazemos a substituição u=x^2-2, então du=2x,dx e x,dx=tfrac12,du. Quando x=2, u=2; quando xtoinfty, utoinfty. Assim
integral2^infty3xx^2-2,dx =32integral2^inftyduu =32l[ln ur]2^infty =32limUtoinftyl(ln U-ln2r) =+infty

Passo 4

Como a integral diverge ( +infty), pelo teste da integral a série
sumn=2^infty3nn^2-2
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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