Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução
das equações diferenciais a seguir, sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais e pede a solução
. Dados fornecidos:
Pergunta: determinar
para
.
Passo 2
Vamos trabalhar transformando a equação em uma equação algébrica no domínio da variável
. Primeiro lembro a definição da transformada de Laplace:
Se eu chamar
, preciso das fórmulas para transformada de derivadas. Derivamos rapidamente a fórmula para a primeira derivada usando integração por partes:
Fazendo integração por partes com
e
obtemos
Portanto
Aplicando a mesma ideia uma vez mais ou usando a propriedade recursiva obtemos para a segunda derivada
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace em toda a equação diferencial
Substituindo as fórmulas das transformadas das derivadas e escrevendo
, tenho
Passo 4
Use as condições iniciais
e
. Substituindo:
Agrupando os termos em
e os termos numéricos:
Logo isolamos
:
Passo 5
Agora precisamos inverter essa transformada. Primeiro simplifico o denominador completando quadrado:
Escrevo o numerador de forma conveniente, separando
. Assim
Passo 6
Conhecemos fórmulas básicas de transformada inversa (deslocamento exponencial):
No nosso caso
e
. Comparando com as parcelas de
:
pois
corresponde a
(já que
).
Passo 7
Inverto termo a termo:
Portanto
Posso factorar
se quiser:
Passo 8
Cheque rápido das condições iniciais para ficar seguro: em
,
e a derivada calcula-se (se quiser verificar) e dá
, compatível com o dado. Tudo confere.