Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução y(t) das equações diferenciais a seguir, sendo p o operador derivada.
\ddot{y}(t)+4 \dot{y}(t)+5 y(t)=0, \quad y(0)=1, \quad \dot{y}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais e pede a solução y(t). Dados fornecidos:
\ddot{y}(t)+4\dot{y}(t)+5y(t)=0,
y(0)=1,\qquad \dot{y}(0)=0.
Pergunta: determinar y(t) para t\ge 0.

Passo 2

Vamos trabalhar transformando a equação em uma equação algébrica no domínio da variável s. Primeiro lembro a definição da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Se eu chamar \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s), preciso das fórmulas para transformada de derivadas. Derivamos rapidamente a fórmula para a primeira derivada usando integração por partes:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt.
Fazendo integração por partes com u=e^{-st} e dv=y'(t)\,dt obtemos
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=\big[e^{-st}y(t)\big]_0^\infty + s\int_0^\infty e^{-st}y(t)\,dt = -y(0)+sY(s).
Portanto
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Aplicando a mesma ideia uma vez mais ou usando a propriedade recursiva obtemos para a segunda derivada
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace em toda a equação diferencial
\mathcal{L}\{\ddot{y}\}+4\mathcal{L}\{\dot{y}\}+5\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas das transformadas das derivadas e escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s), tenho
\big(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)\big) +4\big(sY(s)-y(0)\big) +5Y(s)=0.

Passo 4

Use as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Substituindo:
s^2Y(s)-s\cdot 1 - 0 \;+\;4sY(s)-4\cdot 1 \;+\;5Y(s)=0.
Agrupando os termos em Y(s) e os termos numéricos:
Y(s)\big(s^2+4s+5\big) - (s+4)=0.
Logo isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{s+4}{s^2+4s+5}.

Passo 5

Agora precisamos inverter essa transformada. Primeiro simplifico o denominador completando quadrado:
s^2+4s+5=(s+2)^2+1.
Escrevo o numerador de forma conveniente, separando s+4=(s+2)+2. Assim
Y(s)=\frac{s+2}{(s+2)^2+1}+\frac{2}{(s+2)^2+1}.

Passo 6

Conhecemos fórmulas básicas de transformada inversa (deslocamento exponencial):
\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s+a)^2+b^2}.
No nosso caso a=2 e b=1. Comparando com as parcelas de Y(s):
\frac{s+2}{(s+2)^2+1}\longleftrightarrow e^{-2t}\cos t,
\frac{2}{(s+2)^2+1}=2\cdot\frac{1}{(s+2)^2+1}\longleftrightarrow 2e^{-2t}\sin t,
pois \frac{1}{(s+2)^2+1} corresponde a e^{-2t}\sin t (já que b=1).

Passo 7

Inverto termo a termo:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+2}{(s+2)^2+1}\right\}(t) +\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+2)^2+1}\right\}(t).
Portanto
y(t)=e^{-2t}\cos t + 2e^{-2t}\sin t.
Posso factorar e^{-2t} se quiser:
y(t)=e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big).

Passo 8

Cheque rápido das condições iniciais para ficar seguro: em t=0,
y(0)=e^{0}(\cos 0 + 2\sin 0)=1\cdot(1+0)=1,
e a derivada calcula-se (se quiser verificar) e dá \dot{y}(0)=0, compatível com o dado. Tudo confere.

Resposta

y(t)=e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big)

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