Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução y(t) das equações diferenciais a seguir, sendo p o operador derivada.
\ddot{y}(t)+3 \dot{y}(t)+2 y(t)=0, \quad y(0)=0, \quad \dot{y}(0)=1 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem linear com condições iniciais. Escrevo exatamente o que foi dado e o que se pede:
\ddot{y}(t)+3\dot{y}(t)+2y(t)=0,
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad \dot{y}(0)=1.
A pergunta é: determinar a solução y(t) para t\ge 0 usando transformadas de Laplace.

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e por que a usamos aqui (explicação didática)?
A transformada de Laplace é uma ferramenta que troca uma função do tempo y(t) por uma função do “domínio complexo” Y(s) definida por
\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
Vantagem prática: derivadas no tempo viram polinômios em s multiplicando Y(s), transformando uma equação diferencial em uma equação algébrica em Y(s). Depois resolvemos essa equação algébrica e fazemos a transformada inversa para voltar a y(t).

Passo 3

Fórmulas importantes que usaremos (explique cada termo):
  • Se \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), então
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}=sY(s)-y(0).
Aqui s é a variável da transformada e y(0) é o valor inicial da função no tempo zero.
  • Para a segunda derivada,
\mathcal{L}\{\ddot{y}(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-\dot{y}(0).
Essas fórmulas vêm da integração por partes ao aplicar a definição da transformada à derivada. Vamos usá-las substituindo as condições iniciais dadas.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace termo a termo na equação diferencial. Seja
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s).
Transformo cada termo usando as fórmulas do passo anterior:
\mathcal{L}\{\ddot{y}(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-\dot{y}(0),
\mathcal{L}\{3\dot{y}(t)\}=3\big(sY(s)-y(0)\big),
\mathcal{L}\{2y(t)\}=2Y(s).
Agora substituo y(0)=0 e \dot{y}(0)=1.

Passo 5

Substituindo os valores iniciais e somando os termos transformados:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 0 -1\big) + 3\big(sY(s)-0\big) + 2Y(s) = 0.
Simplificando os termos que envolvem Y(s):
\big(s^{2}+3s+2\big)Y(s) -1 = 0.
Isto é agora uma equação algébrica para Y(s).

Passo 6

Isolo Y(s):
\big(s^{2}+3s+2\big)Y(s)=1\quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{s^{2}+3s+2}.
Observe que o denominador é um polinômio quadrático que podemos fatorar para facilitar a transformada inversa. Faço a fatoração:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Logo
Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}.

Passo 7

Agora preciso calcular a transformada inversa de Y(s). Para isso faço frações parciais:
procuro constantes A e B tais que
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2) obtenho a identidade em s:
1 = A(s+2)+B(s+1).
Isto é uma equação polinomial que vale para todo s. Posso resolver escolhendo valores convenientes de s (método rápido) ou comparando coeficientes.

Passo 8

Uso valores de s que anulam fatores para encontrar A e B:
  • Tomando s=-1: 1 = A(-1+2)+B(0)\Rightarrow 1 = A\cdot 1\Rightarrow A=1.
  • Tomando s=-2: 1 = A(0)+B(-2+1)\Rightarrow 1 = B(-1)\Rightarrow B=-1.
    Portanto
Y(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.

Passo 9

Conhecimento útil: a transformada de Laplace inversa básica que usaremos é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at},
para t\ge 0. Aqui a é um número (no nosso caso a=1 ou a=2). Aplicando a transformada inversa em cada parcela:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}-\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}.

Passo 10

Calculando as inversas de acordo com a fórmula:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}.
Portanto a solução é
y(t)=e^{-t}-e^{-2t},\qquad t\ge 0.

Passo 11

Verificação rápida das condições iniciais (para ganhar confiança):
  • Em t=0: y(0)=e^{0}-e^{0}=1-1=0, que bate com y(0)=0.
  • Derivando y(t): \dot{y}(t)=-e^{-t}+2e^{-2t}. Em t=0: \dot{y}(0)=-1+2=1, que bate com \dot{y}(0)=1. Tudo coerente.

Resposta

y(t)=e^{-t}-e^{-2t}

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