Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução
das equações diferenciais a seguir, sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem linear com condições iniciais. Escrevo exatamente o que foi dado e o que se pede:
com as condições iniciais
A pergunta é: determinar a solução
para
usando transformadas de Laplace.
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e por que a usamos aqui (explicação didática)?
A transformada de Laplace é uma ferramenta que troca uma função do tempo por uma função do “domínio complexo”
definida por
A transformada de Laplace é uma ferramenta que troca uma função do tempo
Vantagem prática: derivadas no tempo viram polinômios em
multiplicando
, transformando uma equação diferencial em uma equação algébrica em
. Depois resolvemos essa equação algébrica e fazemos a transformada inversa para voltar a
.
Passo 3
Fórmulas importantes que usaremos (explique cada termo):
- Se
, então
Aqui
é a variável da transformada e
é o valor inicial da função no tempo zero.
- Para a segunda derivada,
Essas fórmulas vêm da integração por partes ao aplicar a definição da transformada à derivada. Vamos usá-las substituindo as condições iniciais dadas.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace termo a termo na equação diferencial. Seja
Transformo cada termo usando as fórmulas do passo anterior:
Agora substituo
e
.
Passo 5
Substituindo os valores iniciais e somando os termos transformados:
Simplificando os termos que envolvem
:
Isto é agora uma equação algébrica para
.
Passo 6
Isolo
:
Observe que o denominador é um polinômio quadrático que podemos fatorar para facilitar a transformada inversa. Faço a fatoração:
Logo
Passo 7
Agora preciso calcular a transformada inversa de
. Para isso faço frações parciais:
procuro constantes e
tais que
procuro constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtenho a identidade em
:
Isto é uma equação polinomial que vale para todo
. Posso resolver escolhendo valores convenientes de
(método rápido) ou comparando coeficientes.
Passo 8
Uso valores de
que anulam fatores para encontrar
e
:
- Tomando
: . - Tomando
: .
Portanto
Passo 9
Conhecimento útil: a transformada de Laplace inversa básica que usaremos é
para
. Aqui
é um número (no nosso caso
ou
). Aplicando a transformada inversa em cada parcela:
Passo 10
Calculando as inversas de acordo com a fórmula:
Portanto a solução é
Passo 11
Verificação rápida das condições iniciais (para ganhar confiança):
- Em
: , que bate com . - Derivando
: . Em : , que bate com . Tudo coerente.