Determine a Transformada de Fourier do sinal
.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede: determinar a Transformada de Fourier de
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O sinal é a convolução, em
, entre e . - Temos que usar a propriedade da transformada que relaciona convolução em tempo com multiplicação em frequência.
- Não há outras especificações; portanto vamos assumir a convenção usual da transformada de Fourier com frequência angular
:
Passo 2
Defino a função
que usarei e lembro a estratégia geral (sem ainda calcular):\n
- Vou adotar
. Isso é comum em muitos cursos; se sua definição for é só uma escala, e o procedimento é análogo, mas aqui sigo .\n - Estratégia: calcular as transformadas de cada fator (ou seja, de
e de ) e usar a propriedade
ou seja, a transformada da convolução é o produto das transformadas.
Passo 3
Vou obter a transformada de
isto é,
onde
e 0 fora.\n
Para ver rapidamente de onde vem: a transformada inversa de
é
. Pelo princípio da transformada inversa, o par acima vale.\n
Agora queremos a transformada de . Note que
Agora queremos a transformada de
Usando o resultado padrão com
e deslocando o fator constante:
Portanto, para
, e com amplitude
.]
Passo 4
Agora obtenho a transformada de
.\n
Usarei um par conhecido em sentido de distribuição (valor principal): a transformada de é
Usarei um par conhecido em sentido de distribuição (valor principal): a transformada de
onde
é a função sinal (
para
,
para
, e 0 em
se necessário). Esse resultado é entendido em sentido de valor principal (principal value) porque
é singular em
. Você pode consultar tabelas de transformadas ou derivar por argumentos envolvendo a transformada do sinal e propriedades de Hilbert; aqui vou usar o par padrão.\n
Logo, multiplicando por ,
Logo, multiplicando por
Passo 5
Aplico agora a propriedade da convolução: se
então
.\n
Tomando e
, temos suas transformadas calculadas:\n
Tomando
Logo o produto é
Multiplicando os constantes:
Passo 6
Interpreto e simplifico a expressão final em forma piecewise. A função
Nos pontos de fronteira
foi usada em sentido de distribuição (valor principal).]
Resposta
Ou, equivalente em forma piecewise,