Determine a Transformada de Fourier do sinal x(t)=\frac{1}{4 t} * \mathrm{Sa}(3 t).

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=\frac{1}{4t} * \mathrm{Sa}(3t)
e pede: determinar a Transformada de Fourier de x(t).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • O sinal é a convolução, em t, entre \displaystyle \frac{1}{4t} e \mathrm{Sa}(3t).
  • Temos que usar a propriedade da transformada que relaciona convolução em tempo com multiplicação em frequência.
  • Não há outras especificações; portanto vamos assumir a convenção usual da transformada de Fourier com frequência angular \omega:
\mathcal{F}\{x(t)\}=X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.

Passo 2

Defino a função \mathrm{Sa} que usarei e lembro a estratégia geral (sem ainda calcular):\n
  • Vou adotar \mathrm{Sa}(t)=\dfrac{\sin t}{t}. Isso é comum em muitos cursos; se sua definição for \sin(\pi t)/(\pi t) é só uma escala, e o procedimento é análogo, mas aqui sigo \mathrm{Sa}(t)=\sin t/t.\n
  • Estratégia: calcular as transformadas de cada fator (ou seja, de \dfrac{1}{4t} e de \mathrm{Sa}(3t)) e usar a propriedade
\mathcal{F}\{f(t)*g(t)\}=F(\omega)\,G(\omega),
ou seja, a transformada da convolução é o produto das transformadas.

Passo 3

Vou obter a transformada de \mathrm{Sa}(3t)\). Primeiro uma transformada padrão que vou usar como base:\n Considere a função \(\dfrac{\sin a t}{t}\) com \(a>0\). Podemos relacioná-la à transformada da função retangular no domínio da frequência. O par conhecido (para a convenção \(\mathcal{F}\{\cdot\}\) com \(\omega\)) é: \[\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin a t}{\pi t}\right\} = \begin{cases} 1, & |\omega|<a,\\[4pt] 0, & |\omega|>a, \end{cases}
isto é,
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin a t}{\pi t}\right\} = \operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{2a}\right),
onde \operatorname{rect}(\cdot)\] vale 1 para argumento em \[(-1/2,1/2) e 0 fora.\n
Para ver rapidamente de onde vem: a transformada inversa de \operatorname{rect}(\omega/(2a)) é \dfrac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a} e^{j\omega t}\,d\omega=\dfrac{\sin a t}{\pi t}. Pelo princípio da transformada inversa, o par acima vale.\n
Agora queremos a transformada de \mathrm{Sa}(3t)=\dfrac{\sin(3t)}{3t}. Note que
\frac{\sin(3t)}{3t}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sin(3t)}{t}.
Usando o resultado padrão com a=3 e deslocando o fator constante:
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(3t)}{t}\right\} = \pi\cdot \begin{cases} 1, & |\omega|<3,\\[4pt] 0, & |\omega|>3, \end{cases} = \pi\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{6}\right).
Portanto, para \mathrm{Sa}(3t)=\dfrac{1}{3}\,\dfrac{\sin(3t)}{t}\], \[\boxed{\mathcal{F}\{\mathrm{Sa}(3t)\}(\omega)=\frac{\pi}{3}\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{6}\right).}\] Explicando em palavras: a transformada é uma “janela retangular” centrada em zero, com largura \(2\cdot 3=6, e com amplitude \pi/3.]

Passo 4

Agora obtenho a transformada de \dfrac{1}{4t}.\n
Usarei um par conhecido em sentido de distribuição (valor principal): a transformada de \dfrac{1}{t} é
\mathcal{F}\!\left\{\frac{1}{t}\right\} = -j\pi\,\operatorname{sgn}(\omega),
onde \operatorname{sgn}(\omega) é a função sinal ( \operatorname{sgn}(\omega)=1 para \omega>0, \operatorname{sgn}(\omega)=-1 para \omega<0, e 0 em \omega=0 se necessário). Esse resultado é entendido em sentido de valor principal (principal value) porque 1/t é singular em t=0. Você pode consultar tabelas de transformadas ou derivar por argumentos envolvendo a transformada do sinal e propriedades de Hilbert; aqui vou usar o par padrão.\n
Logo, multiplicando por 1/4,
\boxed{\mathcal{F}\!\left\{\frac{1}{4t}\right\}(\omega) = -\frac{j\pi}{4}\,\operatorname{sgn}(\omega).}

Passo 5

Aplico agora a propriedade da convolução: se x(t)=f(t)*g(t) então X(\omega)=F(\omega)\,G(\omega).\n
Tomando f(t)=\dfrac{1}{4t} e g(t)=\mathrm{Sa}(3t), temos suas transformadas calculadas:\n
F(\omega) = -\frac{j\pi}{4}\,\operatorname{sgn}(\omega),\qquad G(\omega) = \frac{\pi}{3}\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{6}\right).
Logo o produto é
X(\omega)=F(\omega)\,G(\omega) = \left(-\frac{j\pi}{4}\,\operatorname{sgn}(\omega)\right)\left(\frac{\pi}{3}\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{6}\right)\right).
Multiplicando os constantes:
X(\omega) = -\frac{j\pi^2}{12}\,\operatorname{sgn}(\omega)\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{6}\right).

Passo 6

Interpreto e simplifico a expressão final em forma piecewise. A função \operatorname{rect}\!\left(\dfrac{\omega}{6}\right)\) vale 1 quando \(|\omega|<3\) e 0 quando \(|\omega|>3\). Portanto \[\boxed{X(\omega) = \begin{cases} -\dfrac{j\pi^2}{12}\,\operatorname{sgn}(\omega), & |\omega|<3,\\[6pt] 0, & |\omega|>3. \end{cases}}
Nos pontos de fronteira |\omega|=3\] a representação em termos de retângulo pode ser tomada com valor intermediário (metade) se necessário; em maioria de problemas de transformada esse ponto único não altera observações práticas. Lembre-se que a transformada de \(\dfrac{1}{t} foi usada em sentido de distribuição (valor principal).]

Resposta

X(\omega) = -\frac{j\pi^2}{12}\,\operatorname{sgn}(\omega)\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{\omega}{6}\right)
Ou, equivalente em forma piecewise,
X(\omega)= \begin{cases} -\dfrac{j\pi^2}{12}\,\operatorname{sgn}(\omega), & |\omega|<3,\\[6pt] 0, & |\omega|>3. \end{cases}]

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