Utilizando o tratamento sistemático do equilíbrio, defina qual seria a concentração de íons \left[\mathrm{H}^{+}\right]de uma solução que contém uma mistura de um ácido fraco HA, de concentração analítica Ca e um ácido forte, HX, de concentração analítica Cx. (Como demostrado em sala de aula, o desafio é a junção de ambos os equilíbrios)

Passo 1

O enunciado pede a concentração de íons \left[\mathrm{H}^{+}\right] numa solução que contém um ácido fraco HA (concentração analítica C_a e constante de dissociação K_a) e um ácido forte HX (concentração analítica C_x, que se dissocia completamente). Vamos usar:
  1. a constante de equilíbrio do ácido fraco,
  2. a conservação de massa do ácido fraco,
  3. a condição de eletroneutralidade (que incorpora a dissociação do ácido forte).

Passo 2

Escrevendo as relações:
O equilíbrio de dissociação do ácido fraco é
\mathrm{HA}\rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^-
com
K_a = \frac{[\mathrm{H}^+]\,[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.
A conservação de massa para HA é
[\mathrm{HA}]+[\mathrm{A}^-]=C_a.
Como HX é forte e se dissocia totalmente, ele gera [\mathrm{H}^+] adicional igual a C_x e [\mathrm{X}^-]=C_x. Pela eletroneutralidade da solução,
[\mathrm{H}^+] = [\mathrm{A}^-] + [\mathrm{X}^-] = [\mathrm{A}^-] + C_x.

Passo 3

Definindo h=[\mathrm{H}^+], da eletroneutralidade vem
[\mathrm{A}^-] = h - C_x,
e da conservação de massa
[\mathrm{HA}] = C_a - [\mathrm{A}^-] = C_a - (h - C_x) = C_a + C_x - h.

Passo 4

Substituindo [\mathrm{A}^-] e [\mathrm{HA}] na expressão de K_a:
K_a = \frac{h\,\bigl(h - C_x\bigr)}{C_a + C_x - h}.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por (C_a + C_x - h) e reorganizando, obtemos a equação quadrática em h:
K_a\,(C_a + C_x - h) = h\,(h - C_x) \quad\Longrightarrow\quad h^2 + (K_a - C_x)\,h - K_a\,(C_a + C_x) = 0.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Bhaskara para essa quadrática, a raiz fisicamente relevante (positiva) é
h = \frac{-\bigl(K_a - C_x\bigr) + \sqrt{\bigl(K_a - C_x\bigr)^2 + 4\,K_a\,(C_a + C_x)}}{2}.

Resposta

\left[\mathrm{H}^{+}\right] = \frac{-\bigl(K_a - C_x\bigr) +\sqrt{\bigl(K_a - C_x\bigr)^{2} +4\,K_a\,(C_a + C_x)}}{2}.

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