Sem utilizar papel e lápis, determine se o sistema homogêneo tem soluções não triviais.
v+3 w-2 x=0
\begin{array}{r} 2 u+v-4 w+3 x=0 \\ 2 u+3 v+2 w-x=0 \\ -4 u-3 v+5 w-4 x=0 \end{array}

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo em quatro incógnitas (u,v,w,x):
\begin{cases} v + 3w - 2x = 0,\\\\ 2u + v - 4w + 3x = 0,\\\\ 2u + 3v + 2w - x = 0,\\\\ -4u - 3v + 5w - 4x = 0. \end{cases}
O conteúdo é teoria de sistemas lineares homogêneos: existe solução não trivial se e somente se o posto da matriz de coeficientes for menor que o número de incógnitas.

Passo 2

Denotemos as equações por \mathrm{E}_1,\mathrm{E}_2,\mathrm{E}_3,\mathrm{E}_4.
Observamos que \mathrm{E}_3 pode ser obtida como combinação de \mathrm{E}_1 e \mathrm{E}_2. De fato,
2\cdot\mathrm{E}_1 + 1\cdot\mathrm{E}_2: \;2\,(v+3w-2x)+(2u+v-4w+3x) =2u+3v+2w-x,
que é exatamente o lado esquerdo de \mathrm{E}_3.

Passo 3

Analogamente, \mathrm{E}_4 é combinação de \mathrm{E}_1 e \mathrm{E}_2:
-2\cdot\mathrm{E}_2 \;-\;1\cdot\mathrm{E}_1: \;-2\,(2u+v-4w+3x)-(v+3w-2x) =-4u-3v+5w-4x,
que coincide com o lado esquerdo de \mathrm{E}_4.

Passo 4

Como \mathrm{E}_3 e \mathrm{E}_4 são combinações de \mathrm{E}_1 e \mathrm{E}_2, o posto do sistema é \rk=2. Mas há 4 incógnitas, logo
\dim\Ker = 4 - \rk = 2 > 0.
Isso significa que existem infinitas soluções não triviais.

Resposta

Sim, o sistema homogêneo tem soluções não triviais (na verdade uma família de dimensão 2).

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