Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
(a) \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(d) \left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 4\end{array}\right]
(e) \left[\begin{array}{lllll}1 & 2 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(f) \left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(g) \left[\begin{array}{rrrr}1 & -7 & 5 & 5 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

Temos sete matrizes e, para cada uma, queremos decidir se ela está em forma escalonada (REF), em forma escalonada reduzida (RREF), em ambas ou em nenhuma.
Definições resumidas:
  • Forma escalonada (REF):
  1. Todas as linhas nã-o-zero ficam acima de quaisquer linhas zero.
  2. Cada pivô (primeiro elemento não-zero de uma linha) está à direita do pivô da linha acima.
  3. Abaixo de cada pivô só há zeros.
  • Forma escalonada reduzida (RREF):
    além de REF, vale que
  1. Cada pivô vale 1.
  2. Em cada coluna de pivô, esse 1 é o único elemento não-zero (acima e abaixo também zeros).

Passo 2

(a) \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}
  1. REF? Sim: três linhas não-zero com pivôs em (1,1),(2,2),(3,3); pivôs deslocam para a direita; abaixo deles só há zeros.
  2. RREF? Sim: todos os pivôs são 1 e são os únicos não-zeros em suas colunas.
    Logo, “ambas”.

Passo 3

(b) \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}
  1. REF? Sim: duas linhas não-zero (pivôs em col1 e col2) acima da linha zero; deslocamento e zeros abaixo ok.
  2. RREF? Sim: pivôs são 1 e únicos não-zeros em suas colunas.
    Logo, “ambas”.

Passo 4

(c) \begin{pmatrix}0&1&0\\\ 0&0&1\\\ 0&0&0\end{pmatrix}
  1. REF? Sim: linha 1 pivô em col2, linha 2 pivô em col3, depois linha zero. Tudo deslocado e zeros abaixo.
  2. RREF? Sim: cada pivô vale 1 e nas colunas 2 e 3 não há outros não-zeros.
    Logo, “ambas”.

Passo 5

(d) \begin{pmatrix}1&0&3&1\\\ 0&1&2&4\end{pmatrix}
  1. REF? Sim: pivô em (1,1), depois em (2,2); não há linhas zero.
  2. RREF? Sim: pivôs são 1 e colunas 1 e 2 têm zeros restantes.
    Logo, “ambas”.

Passo 6

(e) \begin{pmatrix}1&2&0&3&0\\\ 0&0&1&1&0\\\ 0&0&0&0&1\\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}
  1. REF? Sim: pivôs em (1,1),(2,3),(3,5), depois linha zero; deslocados e zeros abaixo.
  2. RREF? Sim: esses pivôs são 1 e são únicos não-zeros nas colunas 1,3,5.
    Logo, “ambas”.

Passo 7

(f) \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
  1. REF? Sim, trivially: não há linhas não-zero, então as condições são satisfeitas por vacuidade.
  2. RREF? Sim, pois não há pivôs para violar qualquer condição extra.
    Logo, “ambas”.

Passo 8

(g) \begin{pmatrix}1&-7&5&5\\\ 0&1&3&2\end{pmatrix}
  1. REF? Sim: pivô em (1,1) e em (2,2); zeros abaixo e deslocamento ok.
  2. RREF? Não, porque na coluna do segundo pivô (col2) há -7 acima de 1, violando o “único não-zero” nessa coluna.
    Logo, “apenas REF”.

Resposta

(a) ambas
(b) ambas
(c) ambas
(d) ambas
(e) ambas
(f) ambas
(g) apenas forma escalonada (REF)

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