Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Temos sete matrizes e, para cada uma, queremos decidir se ela está em forma escalonada (REF), em forma escalonada reduzida (RREF), em ambas ou em nenhuma.
Definições resumidas:
- Forma escalonada (REF):
- Todas as linhas nã-o-zero ficam acima de quaisquer linhas zero.
- Cada pivô (primeiro elemento não-zero de uma linha) está à direita do pivô da linha acima.
- Abaixo de cada pivô só há zeros.
- Forma escalonada reduzida (RREF):
além de REF, vale que
- Cada pivô vale 1.
- Em cada coluna de pivô, esse 1 é o único elemento não-zero (acima e abaixo também zeros).
Passo 2
(a)
- REF? Sim: três linhas não-zero com pivôs em (1,1),(2,2),(3,3); pivôs deslocam para a direita; abaixo deles só há zeros.
- RREF? Sim: todos os pivôs são 1 e são os únicos não-zeros em suas colunas.
Logo, “ambas”.
Passo 3
(b)
- REF? Sim: duas linhas não-zero (pivôs em col1 e col2) acima da linha zero; deslocamento e zeros abaixo ok.
- RREF? Sim: pivôs são 1 e únicos não-zeros em suas colunas.
Logo, “ambas”.
Passo 4
(c)
- REF? Sim: linha 1 pivô em col2, linha 2 pivô em col3, depois linha zero. Tudo deslocado e zeros abaixo.
- RREF? Sim: cada pivô vale 1 e nas colunas 2 e 3 não há outros não-zeros.
Logo, “ambas”.
Passo 5
(d)
- REF? Sim: pivô em (1,1), depois em (2,2); não há linhas zero.
- RREF? Sim: pivôs são 1 e colunas 1 e 2 têm zeros restantes.
Logo, “ambas”.
Passo 6
(e)
- REF? Sim: pivôs em (1,1),(2,3),(3,5), depois linha zero; deslocados e zeros abaixo.
- RREF? Sim: esses pivôs são 1 e são únicos não-zeros nas colunas 1,3,5.
Logo, “ambas”.
Passo 7
(f)
- REF? Sim, trivially: não há linhas não-zero, então as condições são satisfeitas por vacuidade.
- RREF? Sim, pois não há pivôs para violar qualquer condição extra.
Logo, “ambas”.
Passo 8
(g)
- REF? Sim: pivô em (1,1) e em (2,2); zeros abaixo e deslocamento ok.
- RREF? Não, porque na coluna do segundo pivô (col2) há
acima de , violando o “único não-zero” nessa coluna.
Logo, “apenas REF”.
Resposta
(a) ambas
(b) ambas
(c) ambas
(d) ambas
(e) ambas
(f) ambas
(g) apenas forma escalonada (REF)
(b) ambas
(c) ambas
(d) ambas
(e) ambas
(f) ambas
(g) apenas forma escalonada (REF)