Utilize apenas a definição por limite
para determinar a equação inclinação da reta tangente
ao gráfico de f no ponto dado.
ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e um ponto específico
no gráfico dessa função. A tarefa é descobrir a equação da reta tangente nesse ponto usando a definição de derivada por limite. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada usando limites e depois aplicar isso para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada pelo limite:
Isso basicamente nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
. Então, vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 3
Substituindo
na definição, temos:
Vamos simplificar o numerador.
Passo 4
Expandindo
:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Simplificando os termos:
Agora, podemos fatorar
no numerador:
Passo 6
Cancelando o
no numerador e denominador:
Agora, como
tende a 0, podemos substituir:
Então, a derivada da função é
.
Passo 7
Agora, para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
, substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 8
Com a inclinação
e o ponto
, usamos a equação da reta tangente:
Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente no ponto
é: