Utilize apenas a definição por limite f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h para determinar a equação inclinação da reta tangente y-y0=m^prime cdot(x-x0) ao gráfico de f no ponto dado. f(x)=x^2+2 x+1 ; ponto (-3,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e um ponto específico no gráfico dessa função. A tarefa é descobrir a equação da reta tangente nesse ponto usando a definição de derivada por limite. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada usando limites e depois aplicar isso para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada pelo limite:
f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h
Isso basicamente nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto . Então, vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Substituindo f'(x) = limh to 0 (x+h)^2 + 2(x+h) + 1 - (x^2 + 2x + 1)h na definição, temos:
Vamos simplificar o numerador.

Passo 4

Expandindo (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 :
f'(x) = limh to 0 x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h + 1 - x^2 - 2x - 1h
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Simplificando os termos:
f'(x) = limh to 0 2xh + h^2 + 2hh
Agora, podemos fatorar f'(x) = limh to 0 h(2x + h + 2)h no numerador:

Passo 6

Cancelando o f'(x) = limh to 0 (2x + h + 2) no numerador e denominador:
f'(x) = 2x + 0 + 2 = 2x + 2
Agora, como tende a 0, podemos substituir:
Então, a derivada da função é .

Passo 7

Agora, para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto m' = f'(-3) = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4 , substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 8

Com a inclinação y - y0 = m'(x - x0) e o ponto y - 4 = -4(x - (-3)) Rightarrow y - 4 = -4(x + 3) , usamos a equação da reta tangente:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente no ponto y - 4 = -4(x + 3) é:

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