Utilize a condição dada e se baseie nas propriedades para obter os determinantes a seguir:
Sendo \left|\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right|=k calcule \left|\begin{array}{cc}4 c & 4 d \\\\ -a & -b\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá claramente a seguinte informação: o determinante da matriz
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix}
é igual a k. Em símbolos:
\left|\begin{array}{cc} a & b \\[4pt] c & d \end{array}\right| = k.
A pergunta pede para calcular o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 4c & 4d \\[4pt] -a & -b \end{pmatrix},
ou seja, encontrar
\left|\begin{array}{cc} 4c & 4d \\[4pt] -a & -b \end{array}\right|
em função de k. Essas são todas as informações relevantes.]

Passo 2

Lembra da fórmula do determinante de uma matriz 2\times2? Para
\begin{pmatrix} x & y \\[4pt] z & w \end{pmatrix}
temos
\left|\begin{array}{cc} x & y \\[4pt] z & w \end{array}\right| = xw - yz.
Aqui cada letra representa a entrada correspondente: x é o elemento da linha 1 coluna 1, y linha 1 coluna 2, z linha 2 coluna 1 e w linha 2 coluna 2. Aplicando isso à matriz original dada no enunciado, obtemos a relação explícita entre a,b,c,d e k:
k = ad - bc.]

Passo 3

Agora aplico a mesma fórmula ao determinante pedido. Tomando x=4c, y=4d, z=-a, w=-b, temos
\left|\begin{array}{cc} 4c & 4d \\[4pt] -a & -b \end{array}\right| = (4c)(-b) - (4d)(-a).]

Passo 4

Desenvolvendo os produtos e simplificando, passo a passo:
(4c)(-b) - (4d)(-a) = -4bc + 4ad.
Agrupando em fator comum 4:
-4bc + 4ad = 4(ad - bc).
E como já sabemos que ad - bc = k (do Passo 2), substituímos:
4(ad - bc) = 4k.

Passo 5

(Fórmula alternativa com propriedades de determinantes, para fixar a ideia) Pode-se ver também por propriedades: fatorando 4 da primeira linha e -1 da segunda linha obtém-se um fator total -4; o determinante da matriz resultante \begin{pmatrix} c & d \\[4pt] a & b \end{pmatrix} é ac-bd=-(ad-bc), logo o produto de fatores e desse determinante dá 4(ad-bc)=4k. Isso confirma o resultado anterior.]

Passo 6

Um teste numérico rápido para conferir (só para dar segurança): escolha a=1,b=2,c=3,d=4. Então k=1\cdot4-2\cdot3=-2. A matriz pedida é \begin{pmatrix}12&16\\\ -1&-2\end{pmatrix} e seu determinante é 12(-2)-16(-1)=-24+16=-8, que é 4\cdot(-2)=4k. Tudo bate.

Resposta

4k

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