Observação direta sobre as linhas (isto é, olhe as entradas linha a linha): a terceira linha é exatamente o dobro da primeira. Em forma matemática:
(-4,\,6,\,10)=2\cdot(-2,\,3,\,5).
Ou seja, a linha 3 é proporcional à linha 1 (proporção 2).
Passo 3
Explicar por que isso força o determinante a ser zero (intuição e propriedade usada). Uma propriedade simples e importante dos determinantes é:
se uma linha (ou coluna) de uma matriz é um múltiplo escalar de outra linha (ou coluna), então as linhas são linearmente dependentes e o determinante vale zero.
Vou justificar isso de modo elementar:
Passo 4
Justificativa elementar usando linearidade e o caso de linhas iguais.
Determinante é linear em cada linha separadamente. Assim, se a terceira linha é 2 vezes a primeira, então
\det(\text{matriz})=\det\big(\text{matriz com linha}_3=2\cdot\text{linha}_1\big)=2\det\big(\text{matriz com linha}_3=\text{linha}_1\big).
Agora observe que a matriz em que a terceira linha é igual à primeira tem duas linhas iguais. Mas qualquer matriz que possui duas linhas iguais tem determinante zero. Uma explicação simples para esse fato: trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. Se as duas linhas são iguais, trocar não altera a matriz, logo o determinante deveria ser igual ao seu negativo, ou seja,
\det=\,-\det\quad\Rightarrow\quad\det=0.
Combinando os itens anteriores, como a matriz original tem a linha 3 igual a 2 vezes a linha 1, seu determinante é 2 vezes o determinante de uma matriz que tem essas duas linhas iguais, e esse último determinante vale 0. Portanto o determinante original vale 0.
Passo 5
Outra forma curtinha e prática (útil na prova): aplicar uma operação elementar de linhas. Substituir a linha 3 por (linha 3) -2\cdot(linha 1) não altera o determinante (essa operação é do tipo L_3\leftarrow L_3-2L_1). Fazendo isso obtemos uma terceira linha nula: