Justifique por que os determinantes a seguir, são nulos:
\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 4 \\\\ -1 & 0 & 5 \\\\ 3 & 0 & 6\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que o determinante da matriz abaixo é nulo. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4\\[4pt] -1 & 0 & 5\\[4pt] 3 & 0 & 6 \end{pmatrix}
Portanto a pergunta é: por que \det(A)=0?]

Passo 2

Uma forma direta é usar a expansão do determinante ao longo da segunda coluna. A regra de Laplace diz que, expandindo pela coluna 2,
\det(A)=a_{12}C_{12}+a_{22}C_{22}+a_{32}C_{32},
onde a_{i2} são os elementos da coluna 2 e C_{i2} são os cofatores correspondentes. Na nossa matriz os elementos da segunda coluna são todos zero:
a_{12}=0,\qquad a_{22}=0,\qquad a_{32}=0.
Logo cada termo da soma é zero e
\det(A)=0\cdot C_{12}+0\cdot C_{22}+0\cdot C_{32}=0.

Passo 3

Agora uma explicação teórica e intuitiva (útil para a prova): o determinante é uma função multilinear e alternada das colunas (ou linhas) da matriz. Multilinear significa que é linear em cada coluna quando as outras são fixas; alternada significa que se duas colunas forem iguais (ou se uma coluna for o vetor zero) o determinante vale zero. Como aqui a segunda coluna é exatamente o vetor nulo \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, essa propriedade implica imediatamente que \det(A)=0.

Passo 4

Outra verificação mecânica possível para quem gosta de calcular: aplicar a regra de Sarrus para 3\times3. Pela regra de Sarrus,
\det(A)= 2\cdot0\cdot6 + 0\cdot5\cdot3 + 4\cdot(-1)\cdot0 - \big(4\cdot0\cdot3 + 2\cdot5\cdot0 + 0\cdot(-1)\cdot6\big).
Cada produto contém um fator zero, portanto todos os termos são zero e obtemos \det(A)=0.

Passo 5

Resumo didático curto para a prova: se uma coluna (ou linha) de uma matriz é o vetor nulo, então o determinante da matriz é zero. No exercício isso acontece com a segunda coluna, portanto \det(A)=0. Força — esse tipo de observação rápida costuma economizar muito tempo na prova!

Resposta

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