(2,5) Utilize coordenadas esféricas para calcular
integral-5^5 integral-raiz25-x^2^raiz25-x^2 integral-raiz25-x^2-y^2^raiz25-x^2-y^2 (x^2+y^2+z^2)^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. O que isso significa? Basicamente, em vez de usar as coordenadas tradicionais x, y e z, vamos transformar tudo para coordenadas esféricas, que são r (a distância do ponto até a origem), theta (o ângulo polar) e phi (o ângulo azimutal). Para resolver isso, vamos precisar saber como transformar a integral para essas coordenadas e quais são os limites de integração nessa nova forma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites da integral:
-5 <= x <= 5, -raiz25 - x^2 <= y <= raiz25 - x^2, -raiz25 - x^2 - y^2 <= z <= raiz25 - x^2 - y^2
Isso descreve uma esfera de raio 5 centrada na origem. Em coordenadas esféricas, essa esfera é mais fácil de descrever.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como fazer a mudança para coordenadas esféricas. As relações são:
x = r sintheta cosphi, y = r sintheta sinphi, z = r costheta
E o elemento de volume dV em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi

Passo 4

Vamos também transformar o integrando (x^2 + y^2 + z^2)^2. Como x^2 + y^2 + z^2 = r^2, temos:
(x^2 + y^2 + z^2)^2 = (r^2)^2 = r^4

Passo 5

Agora, substituindo tudo na integral original, ela fica:
integral0^2pi integral0^pi integral0^5 r^4 cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Aqui, os limites de integração para r vão de 0 a 5 (raio da esfera), theta vai de 0 a pi e phi vai de 0 a 2pi.

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
integral0^2pi dphi integral0^pi sintheta , dtheta integral0^5 r^6 , dr
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^5 r^6 , dr = [ r^77 ]0^5 = 5^77 = 781257

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a theta:
integral0^pi sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^pi = -cospi + cos0 = 2

Passo 8

Por último, integramos em relação a phi:
integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 9

Agora, juntando tudo:
781257 times 2 times 2pi = 78125 times 4pi7 = 312500pi7

Resposta

O valor da integral é 312500pi7.

Exercícios relacionados