Utilize coordenadas esféricas para calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. O que isso significa? Basicamente, em vez de usar as coordenadas tradicionais
,
e
, vamos transformar tudo para coordenadas esféricas, que são
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo polar) e
(o ângulo azimutal). Para resolver isso, vamos precisar saber como transformar a integral para essas coordenadas e quais são os limites de integração nessa nova forma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Observando os limites da integral:
Isso descreve uma esfera de raio 5 centrada na origem. Em coordenadas esféricas, essa esfera é mais fácil de descrever.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como fazer a mudança para coordenadas esféricas. As relações são:
E o elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 4
Vamos também transformar o integrando
. Como
, temos:
Passo 5
Agora, substituindo tudo na integral original, ela fica:
Aqui, os limites de integração para
vão de 0 a 5 (raio da esfera),
vai de 0 a
e
vai de 0 a
.
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 8
Por último, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Resposta
O valor da integral é
.