Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x 1 x^3-1(1-x)^2

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto1 x^3-1(1-x)^2, que é um problema de Cálculo de limites de funções racionais. Vamos identificar o tipo de indeterminação e depois simplificar para avaliar o comportamento.

Passo 2

Fazendo substituição direta em x=1 temos numerador 1^3-1=0 e denominador (1-1)^2=0. Logo, é uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Para desfazer a indeterminação, fatoramos o numerador e escrevemos o denominador de forma conveniente:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),
(1-x)^2=l(-(x-1)r)^2=(x-1)^2

Passo 4

Assim,
x^3-1(1-x)^2=(x-1)(x^2+x+1)(x-1)^2=x^2+x+1x-1

Passo 5

Agora, ao aproximar x de 1, o numerador x^2+x+1 tende a 1+1+1=3, enquanto o denominador x-1 tende a zero. Isso gera uma divergência infinita.

Passo 6

Para entender melhor, note que ao aproximar por valores menores que 1 ( xto1^-) temos x-1<0 e, portanto,
limxto1^-x^2+x+1x-1=-infty,
enquanto para valores maiores que 1 ( xto1^+),
limxto1^+x^2+x+1x-1=+infty

Passo 7

Como os limites laterais não coincidem num valor finito, o limite limxto1x^3-1(1-x)^2 não existe como número real.

Resposta

O limite não existe (é divergente), com limxto1^-=-infty e limxto1^+=+infty.

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