(1.0 ponto) Utilize coordenadas esféricas para calcular
integral triplaE(x^2+y^2+z^2) d V
, onde E está acima do cone z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre a região $ E $, que está acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e abaixo da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para trabalhar com esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ para coordenadas esféricas $ (\rho, \theta, \phi) $:
(x, y, z)
(rho, theta, phi)
x = rho sinphi costheta
Onde:
  • $ \rho $ é a distância do ponto à origem.
  • $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $.
  • $ \phi $ é o ângulo a partir do eixo $ z $.

Passo 3

A função que vamos integrar é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Em coordenadas esféricas, isso fica:
x^2 + y^2 + z^2
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $.
  • Para $ \theta $: Como a região é simétrica em volta do eixo $ z $, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
  • Para $ \phi $: O cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ em coordenadas esféricas se traduz para $ \phi = \frac{\pi}{4} $. Como estamos acima do cone, $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $.
  • Para $ \rho $: Dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $, então $ \rho $ varia de $ 0 $ a $ 1 $.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral tripla:
integral triplaE rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^1 rho^4 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em ordem: $ \rho $, $ \phi $, e depois $ \theta $.
Primeiro, a integral em $ \rho $:
rho

Passo 7

Agora, a integral em $ \phi $:
phi

Passo 8

Por fim, a integral em $ \theta $:
theta

Passo 9

Multiplicando todos os resultados:
15 times (1 - raiz22) times 2pi = 2pi5 (1 - raiz22)

Resposta

A integral tripla vale:
2pi5 (1 - raiz22)

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