(1.0 ponto) Utilize coordenadas esféricas para calcular
, onde
está acima do cone
e abaixo da esfera
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre a região $ E $, que está acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e abaixo da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para trabalhar com esferas e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ para coordenadas esféricas $ (\rho, \theta, \phi) $:
Onde:
- $ \rho $ é a distância do ponto à origem.
- $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $.
- $ \phi $ é o ângulo a partir do eixo $ z $.
Passo 3
A função que vamos integrar é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Em coordenadas esféricas, isso fica:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $.
- Para $ \theta $: Como a região é simétrica em volta do eixo $ z $, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
- Para $ \phi $: O cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ em coordenadas esféricas se traduz para $ \phi = \frac{\pi}{4} $. Como estamos acima do cone, $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $.
- Para $ \rho $: Dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $, então $ \rho $ varia de $ 0 $ a $ 1 $.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral tripla:
Passo 6
Vamos resolver a integral em ordem: $ \rho $, $ \phi $, e depois $ \theta $.
Primeiro, a integral em $ \rho $:
Passo 7
Agora, a integral em $ \phi $:
Passo 8
Por fim, a integral em $ \theta $:
Passo 9
Multiplicando todos os resultados:
Resposta
A integral tripla vale: