Calcule utilizando integral tripla, o volume do sólido que está entre os paraboloides z=2-x^2-y^2 e z=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos paraboloides z = 2 - x^2 - y^2 e z = x^2 + y^2, usando integral tripla. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas e definição de volume via dV. Vamos precisar encontrar a curva de interseção, escolher bem os limites e usar dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Para achar a curva de interseção dos dois paraboloides, igualamos 2 - x^2 - y^2 = x^2 + y^2. Em coordenadas polares isso vira 2 - r^2 = r^2, ou seja r^2 = 1 e, como r>=0, temos r = 1.

Passo 3

Usando coordenadas cilíndricas (r,theta,z), escolhemos os limites assim: theta de 0 a 2pi, r de 0 a 1, e para cada (r,theta) o z varia de zinf = r^2 até zsup = 2 - r^2.

Passo 4

O volume é então dado por
V = integral0^2piintegral0^1integralz = r^2^z = 2 - r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em z:
integralz = r^2^2 - r^2 r,dz = rl[(2 - r^2) - r^2r] = r(2 - 2r^2) = 2r(1 - r^2)

Passo 6

Agora o volume vira
V = integral0^2pidtheta integral0^12r(1 - r^2),dr = 2pi integral0^12r(1 - r^2),dr,
pois integral0^2pidtheta = 2pi. Calculamos então
integral0^12r(1 - r^2),dr = 2integral0^1(r - r^3),dr = 2l[tfrac12 - tfrac14r] = 2cdottfrac14 = tfrac12

Passo 7

Multiplicando por 2pi temos
V = 2pi cdot tfrac12 = pi

Resposta

pi

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