Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde está acima do cone entre as esferas .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde é a região que fica acima do cone
e entre as esferas e .
O conteúdo-chave é usar coordenadas esféricas para simplificar a integral.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com jacobiano .
Além disso a integranda fica .
Passo 3
A condição “acima do cone ” em esféricas é ,\Rightarrow,.
Como queremos a parte acima, varia de a .
As esferas impõem e o ângulo azimutal faz .
Passo 4
Montamos a integral em esféricas:
Passo 5
Calculamos primeiro a parte radial:
integral1^2rho^3,drho = rho^44g|1^2 = 16-14 = 154
Passo 6
Agora a integral em phi e theta: integral0^pi/4sinphi,dphi =1-cos!l(tfracpi4r) =1-raiz22, integral0^2pidtheta=2pi
Passo 7
Reunindo os três resultados em produto, o valor da integral é