Utilize coordenadas esféricas.
Calcule integral triplaE raizx^2+y^2+z^2 d V, onde E está acima do cone z=raizx^2+y^2 e entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaE raizx^2+y^2+z^2;dV
onde E é a região que fica acima do cone
z = raizx^2+y^2
e entre as esferas
x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4.
O conteúdo-chave é usar coordenadas esféricas para simplificar a integral.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rho sinphicostheta, y = rho sinphisintheta, z = rho cosphi,
com jacobiano
dV = rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta.
Além disso a integranda fica
raizx^2+y^2+z^2 = rho.

Passo 3

A condição “acima do cone z=raizx^2+y^2” em esféricas é
rhocosphi = rhosinphi,\Rightarrow, phi = pi4.
Como queremos a parte acima, phi varia de 0 a pi4.
As esferas impõem 1<= rho <= 2 e o ângulo azimutal faz 0<= theta <= 2pi.

Passo 4

Montamos a integral em esféricas:
integraltheta=0^2pi integralphi=0^pi/4 integralrho=1^2 underbracerhointegranda ;underbracerho^2sinphidV ,drho,dphi,dtheta = integral0^2pi!!integral0^pi/4!!integral1^2 rho^3sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Calculamos primeiro a parte radial:
integral1^2rho^3,drho = rho^44g|1^2 = 16-14 = 154

Passo 6

Agora a integral em phi e theta:
integral0^pi/4sinphi,dphi =1-cos!l(tfracpi4r) =1-raiz22, integral0^2pidtheta=2pi

Passo 7

Reunindo os três resultados em produto, o valor da integral é
154;times!l(1-tfracraiz22r);times 2pi

Resposta

15pi2l(1-tfracraiz22r)

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