Utilize coordenadas polares para determinar o limite, isto é, considere a parametrização \gamma_{\theta}(r)=(r \cos \theta, r \sin \theta). Note que se ( r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ) com r \geq 0, tem-se que r \rightarrow 0^{+}quando (x, y) \rightarrow(0,0).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{\sqrt{x^2+y^2}}
usando coordenadas polares. Vamos usar a parametrização \gamma_{\theta}(r)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta), em que r\ge0 e r\to0^+ equivale a (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Substituímos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na função. O numerador fica
x\,y = (r\cos\theta)(r\sin\theta) = r^2\cos\theta\,\sin\theta,
enquanto o denominador é
\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \sqrt{r^2} = r,
já que r\ge0.

Passo 3

Portanto, a função em coordenadas polares é
\frac{x\,y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{r^2\cos\theta\,\sin\theta}{r} = r\cos\theta\,\sin\theta.

Passo 4

Para qualquer ângulo \theta fixo, temos
\bigl|r\cos\theta\,\sin\theta\bigr| \le r\bigl|\cos\theta\,\sin\theta\bigr| \le r\cdot\frac12,
pois \bigl|\cos\theta\,\sin\theta\bigr|\le\frac12. Como r\to0^+, segue que r\cos\theta\,\sin\theta\to0 independentemente de \theta.

Passo 5

Não há dependência residual em \theta no resultado, logo o limite existe e vale
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0.

Resposta

0

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