Utilize coordenadas polares para determinar o limite, isto é, considere a parametrização \gamma_{\theta}(r)=(r \cos \theta, r \sin \theta). Note que se ( r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ) com r \geq 0, tem-se que r \rightarrow 0^{+}quando (x, y) \rightarrow(0,0). \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
Passo 1
O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{\sqrt{x^2+y^2}}
usando coordenadas polares. Vamos usar a parametrização \gamma_{\theta}(r)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta), em que r\ge0 e r\to0^+ equivale a (x,y)\to(0,0).
Passo 2
Substituímos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na função. O numerador fica