Utilize coordenadas polares para determinar o limite, isto é, considere a parametrização \gamma_{\theta}(r)=(r \cos \theta, r \sin \theta). Note que se ( r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ) com r \geq 0, tem-se que r \rightarrow 0^{+}quando (x, y) \rightarrow(0,0).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}\\

Passo 1

O enunciado pede o limite em \R^2
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin\bigl(x^2+y^2\bigr)}{x^2+y^2}
e sugere usar coordenadas polares. O conteúdo é cálculo de limite de função de duas variáveis, e vamos precisar da parametrização
\gamma_\theta(r) = (r\cos\theta,\;r\sin\theta)
com r\ge0 e r\to0^+ equivalente a (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
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x^2+y^2 = r^2.

Passo 3

Substituindo na função, obtemos a composição
f\bigl(\gamma_\theta(r)\bigr) = \frac{\sin\bigl((r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2\bigr)}{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2} = \frac{\sin(r^2)}{r^2}.

Passo 4

Observe que essa expressão não depende de \theta; só depende de r. Portanto, o limite quando (x,y)\to(0,0) é igual ao limite unidimensional
\lim_{r\to0^+} \frac{\sin(r^2)}{r^2}.

Passo 5

Fazendo a troca u=r^2, quando r\to0^+ temos u\to0^+ e
\frac{\sin(r^2)}{r^2} = \frac{\sin(u)}{u}.
Sabemos do cálculo de uma variável que
\lim_{u\to0} \frac{\sin(u)}{u} = 1.

Resposta

O limite é 1.

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