Utilize coordenadas polares para determinar os limites(Dica: note que se ( r, theta ) são as coordenadas polares do ponto (x, y), x=r cos (theta), y=r sin (theta), r >= 0, theta in[0,2 pi), então r 0+ quando (x, y) (0,0), pois x^2+y^2=r^2 ):
lim (x, y) (0,0) 1-cos (x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite em (0,0) da função
1-cosl(x^2+y^2r)x^2+y^2
O conteúdo aqui é cálculo de limite em duas variáveis usando coordenadas polares, pois em polares temos
x = rcos(theta), y = rsin(theta), x^2+y^2=r^2,
e quando (x,y)to(0,0) ocorre rto0+.

Passo 2

Substituindo x^2+y^2=r^2, a expressão vira
1-cos(r^2)r^2

Passo 3

Para rto0+, use a expansão de Taylor de cos(t) perto de t=0:
cos(t) = 1 - t^22 + o(t^2)
Tomando t=r^2, temos
1-cos(r^2) = (r^2)^22 + o(r^4) = r^42 + o(r^4)
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1-cos(r^2)r^2 = r^42+o(r^4)r^2 = r^22 + o(r^2) ;xrightarrow[rto0+];0

Resposta

0

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