Utilize coordenadas polares para encontrar o volume do sólido dado.
Limitado pelo hiperboloide z^{2}-x^{2}-y^{2}=1 e o plano z=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado abaixo pelo hiperboloide de duas folhas
z^{2}-x^{2}-y^{2}=1
no ramo superior \bigl(z\ge1\bigr) e acima pelo plano
z=2.
O conteúdo é cálculo de volume por meio de coordenadas cilíndricas (polars no plano xy) e integração tripla.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
e o jacobiano vale r. No ramo superior do hiperboloide temos
z = \sqrt{1 + r^{2}}.
Como z vai de \sqrt{1+r^{2}} até 2, impomos
\sqrt{1+r^{2}} \le 2 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} \le 3 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le r \le \sqrt{3},
e \theta percorre todo 0 a 2\pi.

Passo 3

O volume fica
V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{3}} \int_{z=\sqrt{1+r^{2}}}^{2} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{\sqrt{1+r^{2}}}^{2} r\,dz = r\bigl[\,z\bigr]_{z=\sqrt{1+r^{2}}}^{z=2} = r\bigl(2 - \sqrt{1+r^{2}}\bigr).
Assim
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{3}} \bigl(2r - r\sqrt{1+r^{2}}\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separamos a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{3}}2r\,dr = \bigl[r^{2}\bigr]_{0}^{\sqrt{3}} = 3,
\int_{0}^{\sqrt{3}}r\sqrt{1+r^{2}}\,dr \quad u=1+r^{2},\;du=2r\,dr \;\Longrightarrow\; \int r\sqrt{1+r^{2}}\,dr = \frac{1}{3}(1+r^{2})^{3/2}
avaliado de 0 a \sqrt{3}
\tfrac{1}{3}(4^{3/2}-1^{3/2})=\tfrac{1}{3}(8-1)=\tfrac{7}{3}.
Logo a integral em r é
3 - \tfrac{7}{3} = \tfrac{2}{3}.

Passo 6

Finalmente integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \tfrac{2}{3}\,d\theta = \tfrac{2}{3}\,(2\pi) = \tfrac{4\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{4\pi}{3}.

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