Utilize o critério da raiz para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{500}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da raiz (teste da raiz) na série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{500}\Bigr)^{n}.
O critério da raiz diz que, se definirmos
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|},
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Aqui a_n = \bigl(\tfrac{n}{500}\bigr)^{n}. Vamos calcular
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} = \sqrt[n]{\Bigl(\frac{n}{500}\Bigr)^{n}} = \frac{n}{500}.
Agora tomamos o limite superior (que neste caso é o próprio limite) quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{500} = +\infty.

Passo 3

Como L = +\infty > 1, pelo critério da raiz a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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