Utilize o critério da raiz para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o critério da raiz à série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}.
O conteúdo teórico é o teste da raiz: para uma série \sum a_{n}, define-se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos a_{n} = \tfrac{n}{3^{n}}. Então calculamos a n-ésima raiz de \lvert a_{n}\rvert:
\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|} = \sqrt[n]{\frac{n}{3^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{3^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{n}}{3}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}.
É um fato conhecido que \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1. Logo
L = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Como L=\tfrac{1}{3}<1, pelo critério da raiz a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} converge.

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