Utilize o critério da raiz para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty}(2 \sqrt[n]{n}+1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2\sqrt[n]{n}+1)^{n}
usando o critério da raiz. Esse critério diz que, se
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}
existe, então a série converge absolutamente se L<1 e diverge se L>1.

Passo 2

Aqui a_n=(2\,n^{1/n}+1)^n. Logo
\sqrt[n]{|a_n|} \;=\;2\,n^{1/n}+1.
Como
\lim_{n\to\infty}n^{1/n} =\exp\!\Bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{\ln n}{n}\Bigr) =\exp(0) =1,
temos
L =\lim_{n\to\infty}(2\,n^{1/n}+1) =2\cdot1+1 =3>1.
Pelo critério da raiz, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o limite do n-ésimo radical é L=3>1.

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