Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{n}}{2^{n}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, pelo critério da razão, se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{5^{n}}{2^{n}+1}
converge ou diverge. Vamos lembrar que o critério da razão diz: se
\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
então, se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 ela diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
\;a_{n} = \frac{5^{n}}{2^{n}+1}.

Passo 3

Formamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle \frac{5^{n+1}}{2^{n+1}+1}}{\displaystyle \frac{5^{n}}{2^{n}+1}} = 5 \cdot \frac{2^{n}+1}{2^{n+1}+1}.

Passo 4

Calculamos o limite da razão quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}5 \cdot \frac{2^{n}+1}{2^{n+1}+1} = 5 \cdot \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}\bigl(1+2^{-n}\bigr)}{2\cdot2^{n}\bigl(1+2^{-(n+1)}\bigr)} =5\cdot\frac{1}{2} =\frac{5}{2}.

Passo 5

Como L=\tfrac{5}{2}>1, o critério da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério da razão.

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