Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n!}{1.3 .5 \ldots(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\,n!}{1\cdot 3\cdot5\cdots(2n+1)}
usando o critério da razão. O conteúdo envolvido é séries numéricas e, em particular, o critério da razão, que compara os termos \,a_n com \,a_{n+1}.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{(-1)^{n+1}\,n!}{1\cdot 3\cdot5\cdots(2n+1)}
Para aplicar o critério da razão, calculamos o módulo da razão entre termos consecutivos:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!\,/\,\bigl(1\cdot3\cdots(2n+3)\bigr)}{n! \,/\,\bigl(1\cdot3\cdots(2n+1)\bigr)} = \frac{n+1}{2n+3}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+3} = \frac12.
Como esse valor L=\tfrac12 satisfaz L<1, pelo critério da razão a série converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos que, sendo absolutamente convergente, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}\,n!}{1\cdot 3\cdot5\cdots(2n+1)}
é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente (logo, converge).

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