Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(3 n!)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(3n)!}
usando o critério da razão. Vamos usar o teste que diz: se
L = \lim_{n\to\infty} \biggl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggr|
existe e L<1, então a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo. Aqui a_n = \frac{(n!)^2}{(3n)!}.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
r_n = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{\bigl((n+1)!\bigr)^2}{\bigl(3(n+1)\bigr)!}} {\displaystyle\frac{(n!)^2}{(3n)!}} = \frac{(n+1)^2\,(n!)^2}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)\,(3n)!}\;\frac{(3n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(3n+1)\,(3n+2)\,(3n+3)}.

Passo 3

Agora analisamos o limite de r_n quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} r_n = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2(1+1/n)^2}{27\,n^3\,(1+O(1/n))} = 0.

Passo 4

Como L=0<1, pelo critério da razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(3n)!} converge.

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