Utilize o critério da razão para determinar a convergência ou divergência das séries
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(3 / 2)^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(3/2)^{n}}{n^{2}}
usando o critério da razão. Esse critério diz que, se definirmos a_n como o termo geral da série, então calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 a série diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos
a_n = (-1)^{n-1}\,\frac{(3/2)^{n}}{n^{2}},
então, tomando valor absoluto,
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\displaystyle\frac{(3/2)^{\,n+1}}{(n+1)^{2}}} {\displaystyle\frac{(3/2)^{\,n}}{n^{2}}} = \frac{3/2\;\cdot n^{2}}{(n+1)^{2}}.

Passo 3

Calculamos o limite dessa expressão:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{3/2\;\cdot n^{2}}{(n+1)^{2}} = \frac{3}{2}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} = \frac{3}{2}\times1 = \frac{3}{2}.
Como L=\tfrac{3}{2}>1, o critério da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério da razão.

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