Utilize a definição de derivada para calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right). Utilize os teoremas de derivadas para calcular f^{\prime}(x) se existir.
f(x)=x^{2}+3 x+4, \quad x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Calcular f^{\prime}\left(x_{0}\right) usando a definição de derivada no ponto dado, onde x_{0}=1.
  2. Calcular f^{\prime}(x) usando os teoremas (regras) de derivação, se existir.
Informações fornecidas:
f(x)=x^{2}+3x+4,\qquad x_{0}=1.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada num ponto. A derivada de f em x_{0} é
f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h},
quando esse limite existe. Aqui h é o incremento na variável x; a expressão dentro do limite é chamada de quociente diferencial ou diferença quociente. A ideia é ver a inclinação média em intervalos cada vez menores e pegar o limite quando o intervalo tende a zero.

Passo 3

Aplicamos a definição com x_{0}=1. Primeiro calcule f(1+h) e f(1).
Calcule f(1+h):
f(1+h)=(1+h)^{2}+3(1+h)+4.
Desenvolvendo os termos:
(1+h)^{2}=1+2h+h^{2},
3(1+h)=3+3h.
Somando:
f(1+h)=1+2h+h^{2}+3+3h+4=8+5h+h^{2}.
Calcule f(1):
f(1)=1^{2}+3\cdot 1+4=1+3+4=8.

Passo 4

Monte o quociente diferencial:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(8+5h+h^{2})-8}{h}=\frac{5h+h^{2}}{h}.
Simplifique dividindo por h (válido para h\neq 0):
\frac{5h+h^{2}}{h}=5+h.
Agora tomamos o limite quando h\to 0:
\lim_{h\to 0}(5+h)=5.
Portanto o limite existe e
f^{\prime}(1)=5.

Passo 5

Breve explicação didática sobre por que fizemos cada passo: expandimos f(1+h) para expressar o numerador de forma que o fator h aparecesse em todos os termos, assim podíamos simplificar o quociente e avaliar o limite facilmente. Essa é a técnica padrão usando a definição.

Passo 6

Agora vamos calcular f^{\prime}(x) usando as regras de derivação. Relembre duas regras essenciais e o que significam:
  • Regra da soma e constante: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é 0. Em símbolos, se g(x)=u(x)+v(x) então g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x) e se c é constante então \text{(c)}^{\prime}=0.
  • Regra do produto por constante e regra da potência (caso especial): para x^{n} com n inteiro positivo, \dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}. Para n=1 isso dá \dfrac{d}{dx}x=1; para n=2 isso dá \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
Expliquei o significado de cada variável nas fórmulas: em \dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}, a variável x é a variável independente e n é o expoente; o resultado é uma expressão em x.

Passo 7

Aplique as regras termo a termo em f(x)=x^{2}+3x+4:
  • Derivada de x^{2} é 2x (regra da potência com n=2).
  • Derivada de 3x: a constante 3 sai como fator e \dfrac{d}{dx}x=1, logo a derivada é 3\cdot 1=3.
  • Derivada de 4 é 0 porque é constante.
Somando:
f^{\prime}(x)=2x+3+0=2x+3.

Passo 8

(Para consolidar) podemos verificar que a derivada encontrada coincide com o valor anterior em x_{0}=1:
f^{\prime}(1)=2\cdot 1+3=2+3=5,
que bate com o resultado obtido via definição.

Passo 9

Resumo das ideias para a prova (dica prática): usar a definição quando o enunciado pedir explicitamente derivada em um ponto via definição — expanda f(x_{0}+h), cancele termos constantes com f(x_{0}), fatorize h e faça o limite. Para obter f^{\prime}(x) em funções polinomiais, aplique a regra da potência e a linearidade (somar derivadas termo a termo), que é muito mais rápido.

Resposta

\,f^{\prime}(1)=5
\,f^{\prime}(x)=2x+3

Exercícios relacionados