Utilize a definição de derivada para calcular
. Utilize os teoremas de derivadas para calcular
se existir.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular
usando a definição de derivada no ponto dado, onde . - Calcular
usando os teoremas (regras) de derivação, se existir.
Informações fornecidas:
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada num ponto. A derivada de
em
é
quando esse limite existe. Aqui
é o incremento na variável
; a expressão dentro do limite é chamada de quociente diferencial ou diferença quociente. A ideia é ver a inclinação média em intervalos cada vez menores e pegar o limite quando o intervalo tende a zero.
Passo 3
Aplicamos a definição com
. Primeiro calcule
e
.
Calcule
:
Desenvolvendo os termos:
Somando:
Calcule
:
Passo 4
Monte o quociente diferencial:
Simplifique dividindo por
(válido para
):
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto o limite existe e
Passo 5
Breve explicação didática sobre por que fizemos cada passo: expandimos
para expressar o numerador de forma que o fator
aparecesse em todos os termos, assim podíamos simplificar o quociente e avaliar o limite facilmente. Essa é a técnica padrão usando a definição.
Passo 6
Agora vamos calcular
usando as regras de derivação. Relembre duas regras essenciais e o que significam:
- Regra da soma e constante: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é
. Em símbolos, se então e se é constante então . - Regra do produto por constante e regra da potência (caso especial): para
com inteiro positivo, . Para isso dá ; para isso dá .
Expliquei o significado de cada variável nas fórmulas: em
, a variável
é a variável independente e
é o expoente; o resultado é uma expressão em
.
Passo 7
Aplique as regras termo a termo em
:
- Derivada de
é (regra da potência com ). - Derivada de
: a constante sai como fator e , logo a derivada é . - Derivada de
é porque é constante.
Somando:
Passo 8
(Para consolidar) podemos verificar que a derivada encontrada coincide com o valor anterior em
:
que bate com o resultado obtido via definição.
Passo 9
Resumo das ideias para a prova (dica prática): usar a definição quando o enunciado pedir explicitamente derivada em um ponto via definição — expanda
, cancele termos constantes com
, fatorize
e faça o limite. Para obter
em funções polinomiais, aplique a regra da potência e a linearidade (somar derivadas termo a termo), que é muito mais rápido.