Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações relevantes do enunciado:
- O numerador envolve
e o número . - Note que
, então . - O limite tem a forma clássica
(a definição de derivada). O enunciado pediu explicitamente usar a definição de derivada.
Passo 2
Identifico uma função cuja derivada aparece: defino
Tomando
, temos
portanto o limite do enunciado é exatamente a derivada de
em
pela definição:
Ou seja, o limite pedido é
. Agora vou calcular essa derivada usando a definição (expansão trigonométrica e limites trigonométricos básicos).
Passo 3
Vou usar a fórmula de adição para seno:
Aplicando com
e
obtenho
Substituo isso no numerador do limite:
Passo 4
Agrupo termos para fatorar
:
Colocando em evidência
no primeiro par:
Dividindo tudo por
(como no limite) dá
Passo 5
Agora uso os limites trigonométricos fundamentais:
-
.
Breve justificativa: é um limite clássico que pode ser mostrado pelo teorema do sanduíche (squeeze) usando comparações geométricas no círculo unitário. -
.
Breve justificativa: escrevendoobtemos , cujo limite é porque e .
Aplicando esses limites termo a termo (os coeficientes constantes saem do limite) no somatório do Passo 4, obtenho
Passo 6
Calculo os valores de seno e cosseno em
:
Pelo resultado do Passo 5 o limite vale
(Isto coincide com o cálculo pela regra de derivação direta
avaliada em
, mas fizemos o cálculo usando a definição como pedido.)