Utilize a Definiçõ de derivada para calcular o limite indicado.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3 \sin \left(\frac{\pi}{4}+h\right)-\frac{3 \sqrt{2}}{2}}{h}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{h \to 0} \frac{3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+h\right)-\frac{3\sqrt{2}}{2}}{h}.
Informações relevantes do enunciado:
  • O numerador envolve \sin\!\left(\frac{\pi}{4}+h\right) e o número \frac{3\sqrt{2}}{2}.
  • Note que \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, então \;3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
  • O limite tem a forma clássica \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} (a definição de derivada). O enunciado pediu explicitamente usar a definição de derivada.

Passo 2

Identifico uma função cuja derivada aparece: defino
f(x)=3\sin x.
Tomando a=\frac{\pi}{4}, temos
f(a)=3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2},
portanto o limite do enunciado é exatamente a derivada de f em a pela definição:
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Ou seja, o limite pedido é f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right). Agora vou calcular essa derivada usando a definição (expansão trigonométrica e limites trigonométricos básicos).

Passo 3

Vou usar a fórmula de adição para seno:
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.
Aplicando com \alpha=\frac{\pi}{4} e \beta=h obtenho
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+h\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos h+\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin h.
Substituo isso no numerador do limite:
3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+h\right)-\frac{3\sqrt{2}}{2} =3\left[\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos h+\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin h\right]-3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Agrupo termos para fatorar 3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right):
3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos h-3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+3\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin h.
Colocando em evidência 3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) no primeiro par:
3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)(\cos h-1)+3\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin h.
Dividindo tudo por h (como no limite) dá
\frac{3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)(\cos h-1)}{h}+\frac{3\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin h}{h}.

Passo 5

Agora uso os limites trigonométricos fundamentais:
  • \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1.
    Breve justificativa: é um limite clássico que pode ser mostrado pelo teorema do sanduíche (squeeze) usando comparações geométricas no círculo unitário.
  • \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
    Breve justificativa: escrevendo \cos h-1=-2\sin^2(h/2) obtemos \displaystyle\frac{\cos h-1}{h}=-2\frac{\sin^2(h/2)}{h}=-2\left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2\frac{h}{4}, cujo limite é 0 porque \frac{\sin(h/2)}{h/2}\to 1 e \frac{h}{4}\to 0.
Aplicando esses limites termo a termo (os coeficientes constantes saem do limite) no somatório do Passo 4, obtenho
\lim_{h\to 0}\left[3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot\frac{\cos h-1}{h}+3\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot\frac{\sin h}{h}\right] =3\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot 0 + 3\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot 1.

Passo 6

Calculo os valores de seno e cosseno em \frac{\pi}{4}:
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Pelo resultado do Passo 5 o limite vale
3\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
(Isto coincide com o cálculo pela regra de derivação direta f'(x)=3\cos x avaliada em x=\frac{\pi}{4}, mas fizemos o cálculo usando a definição como pedido.)

Resposta

\dfrac{3\sqrt{2}}{2}

Exercícios relacionados