Utilize a definição para provar que os limites existem:
f)
f)
Passo 1
Enunciado claro e dados que temos: a função
é dada por
. O que o problema pede é provar, usando a definição (epsilon–delta) de limite, que
Ou seja, provar que ao nos aproximarmos de
de
, os valores de
se aproximam de
.
Passo 2
Relembrando e explicando a definição de limite (passo a passo, sem formalidade assustada):
- A afirmação
significa: para todo número (esse é o quanto aceitamos de erro entre e ), existe um número (esse é o quão perto de devemos escolher ) tal que, sempre que satisfaz , então automaticamente . - Aqui:
é a precisão desejada no eixo dos valores (vertical), é a precisão desejada no eixo das abscissas (horizontal). - Nosso trabalho: dado um
arbitrário, mostrar uma maneira de escolher em função de que garanta a implicação acima.
Passo 3
Calcular a diferença que queremos controlar. Como
, temos
Isso é ótimo: a quantidade que queremos tornar menor que
é exatamente
. Portanto a condição desejada
é numericamente idêntica a
.
Passo 4
Escolha de
. Vendo o passo anterior, a escolha natural (e simples) é
Verificação da definição: seja um
qualquer. Tome
(que é positivo). Se
satisfaz
, então
A implicação exigida pela definição está satisfeita para esse
. Como isso vale para todo
, a definição de limite é atendida.
Passo 5
Comentário ilustrativo (um exemplo numérico curto para “ver com os olhos”): se escolhermos
, então pegamos
. Qualquer
com
(por exemplo
tem
) satisfaz
. Funciona para qualquer
.