Utilize a definição para provar que os limites existem:
f) \lim_{x \to 2} x = 2

Passo 1

Enunciado claro e dados que temos: a função f é dada por f(x)=x. O que o problema pede é provar, usando a definição (epsilon–delta) de limite, que
\lim_{x\to 2} f(x)=2.
Ou seja, provar que ao nos aproximarmos de x de 2, os valores de f(x) se aproximam de 2.

Passo 2

Relembrando e explicando a definição de limite (passo a passo, sem formalidade assustada):
  • A afirmação \lim_{x\to 2} f(x)=2 significa: para todo número \epsilon>0 (esse é o quanto aceitamos de erro entre f(x) e 2), existe um número \delta>0 (esse é o quão perto de 2 devemos escolher x) tal que, sempre que x satisfaz 0<|x-2|<\delta, então automaticamente |f(x)-2|<\epsilon.
  • Aqui: \epsilon é a precisão desejada no eixo dos valores (vertical), \delta é a precisão desejada no eixo das abscissas (horizontal).
  • Nosso trabalho: dado um \epsilon>0 arbitrário, mostrar uma maneira de escolher \delta>0 em função de \epsilon que garanta a implicação acima.

Passo 3

Calcular a diferença que queremos controlar. Como f(x)=x, temos
|f(x)-2| = |x-2|.
Isso é ótimo: a quantidade que queremos tornar menor que \epsilon é exatamente |x-2|. Portanto a condição desejada |f(x)-2|<\epsilon é numericamente idêntica a |x-2|<\epsilon.

Passo 4

Escolha de \delta. Vendo o passo anterior, a escolha natural (e simples) é
\delta = \epsilon.
Verificação da definição: seja um \epsilon>0 qualquer. Tome \delta=\epsilon (que é positivo). Se x satisfaz 0<|x-2|<\delta, então
|f(x)-2| = |x-2| < \delta = \epsilon.
A implicação exigida pela definição está satisfeita para esse \delta. Como isso vale para todo \epsilon>0, a definição de limite é atendida.

Passo 5

Comentário ilustrativo (um exemplo numérico curto para “ver com os olhos”): se escolhermos \epsilon=0,1, então pegamos \delta=0,1. Qualquer x com 0<|x-2|<0,1 (por exemplo x=2,05 tem |x-2|=0,05<0,1) satisfaz |f(x)-2|=|x-2|<0,1. Funciona para qualquer \epsilon.

Resposta

\lim_{x\to 2} x = 2

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