Utilize a definição para provar que os limites existem:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição (épsilon–delta) de limite, que
Informações relevantes fornecidas ou implícitas:
- O ponto de interesse é
. - A função é
. É preciso notar o domínio: está bem definido como sempre que . Como , podemos trabalhar com suficientemente próximos de de modo que . - O objetivo é mostrar, pelo critério épsilon–delta, que para todo
existe tal que implica .
Passo 2
Lembrete didático da definição de limite (vou explicar passo a passo):
- Dizemos que
se, para todo , existe tal que sempre que temos . - O papel de
é fixar "quão perto de " queremos que fique; é a distância em ao redor de que garante essa proximidade. - Para provar um limite por essa definição, pegue um
arbitrário e mostre como escolher um (dependendo possivelmente de ) que satisfaz a implicação requerida.
Passo 3
Analisar a função perto de
e escolher
.
- Como
, existe um intervalo ao redor de onde todos os pontos são positivos; por exemplo, se tomarmos , então implica , logo . - Para qualquer
tem-se . Assim, para todo em (em particular para todo com ) vale
- Agora aplicamos a definição: seja
arbitrário. Escolhemos
(qualquer
serve; escolhemos
por simplicidade.)
- Se
então, como visto, , logo
- Portanto, para o
escolhido a implicação da definição é satisfeita para todo .
Passo 4
Conclusão do argumento formal:
- Mostramos que dado qualquer
podemos tomar (ou qualquer ) de modo que implica . - Isso é exatamente a verificação da definição épsilon–delta para o limite
. Assim o limite existe e é igual a .