Utilize a definição para provar que os limites existem:
d) \lim_{x \to 3} 0^{x} 2^{x} = 0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição (épsilon–delta) de limite, que
\lim_{x\to 3} 0^{x}2^{x}=0.
Informações relevantes fornecidas ou implícitas:
  • O ponto de interesse é a=3.
  • A função é f(x)=0^{x}2^{x}. É preciso notar o domínio: 0^{x} está bem definido como 0 sempre que x>0. Como a=3>0, podemos trabalhar com x suficientemente próximos de 3 de modo que x>0.
  • O objetivo é mostrar, pelo critério épsilon–delta, que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-3|<\delta implica |0^{x}2^{x}-0|<\varepsilon.

Passo 2

Lembrete didático da definição de limite (vou explicar passo a passo):
  • Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<|x-a|<\delta temos |f(x)-L|<\varepsilon.
  • O papel de \varepsilon é fixar "quão perto de L" queremos que f(x) fique; \delta é a distância em x ao redor de a que garante essa proximidade.
  • Para provar um limite por essa definição, pegue um \varepsilon>0 arbitrário e mostre como escolher um \delta>0 (dependendo possivelmente de \varepsilon) que satisfaz a implicação requerida.

Passo 3

Analisar a função perto de x=3 e escolher \delta.
  • Como 3>0, existe um intervalo ao redor de 3 onde todos os pontos são positivos; por exemplo, se tomarmos \delta_0=1, então 0<|x-3|<\delta_0 implica x\in(2,4), logo x>0.
  • Para qualquer x>0 tem-se 0^{x}=0. Assim, para todo x em (2,4) (em particular para todo x com 0<|x-3|<1) vale
0^{x}2^{x}=0\cdot 2^{x}=0.
  • Agora aplicamos a definição: seja \varepsilon>0 arbitrário. Escolhemos
\delta=\min\{1,\,1\}=1.
(qualquer \delta\in(0,1] serve; escolhemos 1 por simplicidade.)
  • Se 0<|x-3|<\delta então, como visto, 0^{x}2^{x}=0, logo
\bigl|0^{x}2^{x}-0\bigr|=|0|=0<\varepsilon.
  • Portanto, para o \delta escolhido a implicação da definição é satisfeita para todo \varepsilon>0.

Passo 4

Conclusão do argumento formal:
  • Mostramos que dado qualquer \varepsilon>0 podemos tomar \delta=1 (ou qualquer \delta\le 1) de modo que 0<|x-3|<\delta implica |0^{x}2^{x}-0|<\varepsilon.
  • Isso é exatamente a verificação da definição épsilon–delta para o limite \lim_{x\to 3}0^{x}2^{x}=0. Assim o limite existe e é igual a 0.

Resposta

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