Utilize a definição para provar que os limites existem:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se prove, usando a definição (epsilon–delta), que
Ou seja, preciso mostrar que para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
.
Passo 2
Vou lembrar devagar e com calma o que significa a definição que vou usar.
- A expressão
representa “quão perto” do valor limite queremos ficar — é um número pequeno dado por quem testa. - A expressão
representa “quão perto” da abscissa devemos escolher para garantir que fique dentro de do limite. - Formalmente: mostrar o limite equivale a demonstrar que
Agora vamos transformar essa condição em algo que permita escolher
em função de
.
Passo 3
Calculo
em termos de
. Faço manipulação algébrica explícita:
porque
. Tomando módulo,
Passo 4
A relação anterior já dá a forma direta para escolher
. Queremos que
. Usando a expressão encontrada,
Isso é equivalente a
Logo, uma escolha natural (e suficiente) é tomar
Agora verifico a implicação formal: seja qualquer
. Defina
. Se
então
Portanto a condição da definição é satisfeita.
Passo 5
Concluo a prova: para todo
escolhi
(que depende somente de
) e mostrei que sempre que
então
. Isso prova, pela definição epsilon–delta, que
Resposta
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