Utilize a definição para provar que os limites existem:
\lim _{x \rightarrow 6}\left(3-\frac{1}{2} x\right)=0

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=3-\tfrac{1}{2}x\, e pede que se prove, usando a definição (epsilon–delta), que
\lim_{x\to6}\left(3-\frac{1}{2}x\right)=0.
Ou seja, preciso mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-6|<\delta, vale |f(x)-0|<\varepsilon.

Passo 2

Vou lembrar devagar e com calma o que significa a definição que vou usar.
  • A expressão \varepsilon>0 representa “quão perto” do valor limite queremos ficar — é um número pequeno dado por quem testa.
  • A expressão \delta>0 representa “quão perto” da abscissa x=6 devemos escolher x para garantir que f(x) fique dentro de \varepsilon do limite.
  • Formalmente: mostrar o limite equivale a demonstrar que
\text{para todo } \varepsilon>0\\ \text{existe}\\ \delta>0\\ \text{tal que se }0<|x-6|<\delta\text{ então }|f(x)-0|<\varepsilon.ã
Agora vamos transformar essa condição em algo que permita escolher \delta em função de \varepsilon.

Passo 3

Calculo |f(x)-0| em termos de |x-6|. Faço manipulação algébrica explícita:
3-\frac{1}{2}x = -\frac{1}{2}x+3 = -\frac{1}{2}(x-6),
porque -\tfrac{1}{2}(x-6) = -\tfrac{1}{2}x + 3. Tomando módulo,
\left|3-\frac{1}{2}x\right| = \left|-\frac{1}{2}(x-6)\right| = \frac{1}{2}\,|x-6|.

Passo 4

A relação anterior já dá a forma direta para escolher \delta. Queremos que |f(x)-0|<\varepsilon. Usando a expressão encontrada,
\left|3-\frac{1}{2}x\right| = \frac{1}{2}\,|x-6| < \varepsilon.
Isso é equivalente a
|x-6| < 2\varepsilon.
Logo, uma escolha natural (e suficiente) é tomar
\delta = 2\varepsilon.
Agora verifico a implicação formal: seja qualquer \varepsilon>0. Defina \delta := 2\varepsilon >0. Se 0<|x-6|<\delta então
\left|3-\frac{1}{2}x\right| = \frac{1}{2}\,|x-6| < \frac{1}{2}\,\delta = \frac{1}{2}\,(2\varepsilon) = \varepsilon.
Portanto a condição da definição é satisfeita.

Passo 5

Concluo a prova: para todo \varepsilon>0 escolhi \delta=2\varepsilon (que depende somente de \varepsilon) e mostrei que sempre que 0<|x-6|<\delta então |f(x)-0|<\varepsilon. Isso prova, pela definição epsilon–delta, que
\lim_{x\to6}\left(3-\frac{1}{2}x\right)=0.

Resposta

0

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