Utilize a definição para provar que os limites existem: \lim _{x \rightarrow-3}(2 x+1)=-5
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to-3}\bigl(2x+1\bigr)=-5.
Informações dadas e o que precisa ser mostrado:
A função é f(x)=2x+1.
O ponto onde se toma o limite é x\to-3.
O valor proposto do limite é L=-5.
Pelo enunciado, a tarefa é: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x+3|<\delta, temos |f(x)-L|<\varepsilon.
Passo 2
Recordando a definição \varepsilon-\delta de limite (breve aula): dizer que
\lim_{x\to a} f(x)=L
significa que para todo \varepsilon>0 (um número pequeno que representa a tolerância no valor de f(x)) existe \delta>0 (um número que restringe quão perto x deve estar de a) tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, a diferença entre f(x) e L fica dentro da tolerância:
|f(x)-L|<\varepsilon.
Aqui, \varepsilon e \delta são números positivos; \varepsilon é dado arbitrariamente e a tarefa é fornecer uma regra que determina \delta em função de \varepsilon.
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao caso concreto com f(x)=2x+1, a=-3 e L=-5. Primeiro calcule a diferença que aparece na definição:
\bigl|f(x)-L\bigr|=\bigl|(2x+1)-(-5)\bigr|.
Agora desenvolve a conta: subtrair -5 é somar 5, portanto
Explicação didática: multiplicar por 2 sai da barra de valor absoluto como um fator multiplicativo positivo, por isso |2(x+3)|=2|x+3|. Essa igualdade é a chave: a diferença entre f(x) e o suposto limite -5 é exatamente 2 vezes a distância de x a -3.
Passo 5
A partir da igualdade anterior queremos garantir \bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon. Substituindo:
2\,\bigl|x+3\bigr|<\varepsilon.
Isto é equivalente a
\bigl|x+3\bigr|<\frac{\varepsilon}{2}.
Portanto, uma escolha natural e válida para \delta em função de \varepsilon é
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Observe que, para todo \varepsilon>0, esse \delta é positivo, como exige a definição.
Passo 6
Agora fazemos a verificação formal do critério \varepsilon-\delta: seja dado um \varepsilon>0. Defina \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}. Se x satisfaz 0<|x+3|<\delta, então
Isso mostra exatamente o que a definição pede: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (aqui \delta=\varepsilon/2) tal que 0<|x+3|<\delta implica |f(x)-(-5)|<\varepsilon.
Passo 7
Comentário prático (exemplo numérico para fixar): se escolhermos \varepsilon=0{,}1, então \delta=\varepsilon/2=0{,}05. Assim, sempre que 0<|x+3|<0{,}05 teremos |(2x+1)-(-5)|<0{,}1. Esse cálculo numérico ajuda a visualizar o papel de \delta.
Passo 8
Conclusão final do argumento: como para todo \varepsilon>0 conseguimos construir um \delta>0 que satisfaz a condição da definição, segue que