Utilize a definição para provar que os limites existem:
\lim _{x \rightarrow-3}(2 x+1)=-5

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to-3}\bigl(2x+1\bigr)=-5.
Informações dadas e o que precisa ser mostrado:
  • A função é f(x)=2x+1.
  • O ponto onde se toma o limite é x\to-3.
  • O valor proposto do limite é L=-5.
  • Pelo enunciado, a tarefa é: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x+3|<\delta, temos |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 2

Recordando a definição \varepsilon- \delta de limite (breve aula): dizer que
\lim_{x\to a} f(x)=L
significa que para todo \varepsilon>0 (um número pequeno que representa a tolerância no valor de f(x)) existe \delta>0 (um número que restringe quão perto x deve estar de a) tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, a diferença entre f(x) e L fica dentro da tolerância:
|f(x)-L|<\varepsilon.
Aqui, \varepsilon e \delta são números positivos; \varepsilon é dado arbitrariamente e a tarefa é fornecer uma regra que determina \delta em função de \varepsilon.

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao caso concreto com f(x)=2x+1, a=-3 e L=-5. Primeiro calcule a diferença que aparece na definição:
\bigl|f(x)-L\bigr|=\bigl|(2x+1)-(-5)\bigr|.
Agora desenvolve a conta: subtrair -5 é somar 5, portanto
\bigl|(2x+1)-(-5)\bigr|=\bigl|2x+1+5\bigr|=\bigl|2x+6\bigr|.

Passo 4

Fatorando a expressão obtemos algo simples:
\bigl|2x+6\bigr|=\bigl|2(x+3)\bigr|=2\,\bigl|x+3\bigr|.
Explicação didática: multiplicar por 2 sai da barra de valor absoluto como um fator multiplicativo positivo, por isso |2(x+3)|=2|x+3|. Essa igualdade é a chave: a diferença entre f(x) e o suposto limite -5 é exatamente 2 vezes a distância de x a -3.

Passo 5

A partir da igualdade anterior queremos garantir \bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon. Substituindo:
2\,\bigl|x+3\bigr|<\varepsilon.
Isto é equivalente a
\bigl|x+3\bigr|<\frac{\varepsilon}{2}.
Portanto, uma escolha natural e válida para \delta em função de \varepsilon é
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Observe que, para todo \varepsilon>0, esse \delta é positivo, como exige a definição.

Passo 6

Agora fazemos a verificação formal do critério \varepsilon- \delta: seja dado um \varepsilon>0. Defina \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}. Se x satisfaz 0<|x+3|<\delta, então
\bigl|f(x)-(-5)\bigr|=2\,\bigl|x+3\bigr|<2\delta=2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isso mostra exatamente o que a definição pede: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (aqui \delta=\varepsilon/2) tal que 0<|x+3|<\delta implica |f(x)-(-5)|<\varepsilon.

Passo 7

Comentário prático (exemplo numérico para fixar): se escolhermos \varepsilon=0{,}1, então \delta=\varepsilon/2=0{,}05. Assim, sempre que 0<|x+3|<0{,}05 teremos |(2x+1)-(-5)|<0{,}1. Esse cálculo numérico ajuda a visualizar o papel de \delta.

Passo 8

Conclusão final do argumento: como para todo \varepsilon>0 conseguimos construir um \delta>0 que satisfaz a condição da definição, segue que
\lim_{x\to-3}\bigl(2x+1\bigr)=-5.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow-3}(2x+1)=-5

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