Utilize a definição para provar que os limites existem:
\lim _{x \rightarrow 5}(-4 x)=-20

Passo 1

O enunciado pede: provar, usando a definição (épsilon–delta) de limite, que
\lim_{x\rightarrow 5}(-4x) = -20.
Informações dadas:
  • A função é f(x) = -4x.
  • O ponto onde x tende é a=5.
  • O valor candidato do limite é L=-20.
    O que precisa ser mostrado, pela definição, é: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-5|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 2

Lembrete didático da definição (passo a passo, sem pressa):
  • A definição formal diz: \lim_{x\to a} f(x)=L significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \exists\\ \delta>0\\ \text{tal que se }0<|x-a|<\delta\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
  • Interpretação simples: dado um erro tolerável \varepsilon no valor da função, devemos encontrar um intervalo em torno de a (tamanho \delta) tal que, sempre que x estiver dentro desse intervalo (exceto possivelmente em a), o erro real |f(x)-L| fique menor que \varepsilon.
  • Estratégia usual: escrever |f(x)-L| em termos de |x-a| e escolher \delta em função de \varepsilon para garantir a desigualdade.

Passo 3

Vamos calcular |f(x)-L| com os dados:
|f(x)-L| = |{-4x} - (-20)| = |{-4x} + 20|.
Fatorando:
|{-4x} + 20| = |{-4}(x-5)| = 4\,|x-5|.
Explicação: multiplicar por -4 só altera o sinal, e o módulo elimina o sinal, ficando 4 vezes |x-5|.

Passo 4

Agora relacionamos |f(x)-L| com |x-5| para aplicar a definição:
a condição |f(x)-L|<\varepsilon fica
4\,|x-5|<\varepsilon.
Isto é equivalente a
|x-5|<\frac{\varepsilon}{4}.
Portanto a escolha natural (e suficiente) é tomar
\delta = \frac{\varepsilon}{4}.

Passo 5

Prova formal com a escolha de \delta:
  • Seja dado um \varepsilon>0.
  • Defina \delta=\dfrac{\varepsilon}{4}. Note que \delta>0 porque \varepsilon>0.
  • Se 0<|x-5|<\delta, então
|f(x)-L| = 4\,|x-5| < 4\cdot\delta = 4\cdot\frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon.
  • Assim, para esse \delta a condição da definição é satisfeita.

Passo 6

Comentário didático final e exemplo numérico rápido (para fixar):
  • Regra geral para funções lineares f(x)=mx+b: |f(x)-f(a)| = |m||x-a|. Então costuma-se escolher \delta=\varepsilon/|m|.
  • Exemplo numérico: se escolhermos \varepsilon=0,1, então \delta=0,1/4=0,025. Assim, sempre que 0<|x-5|<0,025 teremos |-4x+20|<0,1.

Passo 7

Conclusão da prova: a construção acima mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta=\dfrac{\varepsilon}{4} tal que, se 0<|x-5|<\delta então |-4x+20|<\varepsilon. Portanto, pela definição épsilon–delta, o limite existe.

Resposta

-20

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