Utilize a definição para provar que os limites existem:
Passo 1
O enunciado pede: provar, usando a definição (épsilon–delta) de limite, que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde
tende é . - O valor candidato do limite é
.
O que precisa ser mostrado, pela definição, é: para todoexiste tal que, sempre que , então .
Passo 2
Lembrete didático da definição (passo a passo, sem pressa):
- A definição formal diz:
significa que
- Interpretação simples: dado um erro tolerável
no valor da função, devemos encontrar um intervalo em torno de (tamanho ) tal que, sempre que estiver dentro desse intervalo (exceto possivelmente em ), o erro real fique menor que . - Estratégia usual: escrever
em termos de e escolher em função de para garantir a desigualdade.
Passo 3
Vamos calcular
com os dados:
Fatorando:
Explicação: multiplicar por
só altera o sinal, e o módulo elimina o sinal, ficando
vezes
.
Passo 4
Agora relacionamos
com
para aplicar a definição:
a condição fica
a condição
Isto é equivalente a
Portanto a escolha natural (e suficiente) é tomar
Passo 5
Prova formal com a escolha de
:
- Seja dado um
. - Defina
. Note que porque . - Se
, então
- Assim, para esse
a condição da definição é satisfeita.
Passo 6
Comentário didático final e exemplo numérico rápido (para fixar):
- Regra geral para funções lineares
: . Então costuma-se escolher . - Exemplo numérico: se escolhermos
, então . Assim, sempre que teremos .
Passo 7
Conclusão da prova: a construção acima mostra que para todo
existe
tal que, se
então
. Portanto, pela definição épsilon–delta, o limite existe.