Utilize a definição para provar que os limites existem:
a) \lim_{x \to 5} 15 = 15

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dão. O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x \to 5} 15 = 15.
Informação dada: a função é a constante f(x)=15 para todo x. O ponto onde queremos o limite é a=5. A meta é mostrar, segundo a definição formal, que o limite existe e vale 15.

Passo 2

Lembrando a definição \varepsilon- \delta de limite (explicada passo a passo). Dizemos que
\lim_{x\to 5} f(x)=L
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existir \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-5|<\delta, temos |f(x)-L|<\varepsilon.
O que cada símbolo significa:
  • \varepsilon é um número positivo arbitrário que representa o quão perto queremos que f(x) esteja de L.
  • \delta é um número positivo que controla quão perto x precisa estar de 5 para garantir essa proximidade.
  • A condição 0<|x-5|<\delta significa que estamos aproximando x de 5, mas sem igualar exatamente x=5 (isso é o padrão na definição de limite).
Para provar o limite, devemos, dado qualquer \varepsilon>0, fornecer um \delta>0 (possivelmente dependente de \varepsilon) que torne verdadeira a implicação acima.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso concreto. Aqui f(x)=15 e L=15. Calculemos a diferença que aparece na definição:
|f(x)-L| = |15-15|.
Essa é uma conta simples: o valor absoluto de zero.

Passo 4

Avaliação do resultado da conta. Temos
|15-15| = 0.
Observação importante: esse valor é exatamente 0 para qualquer x. Ou seja, independente de quão longe x esteja de 5, a diferença |f(x)-15| é sempre 0.

Passo 5

Escolha de \delta e verificação da implicação. Tomemos qualquer \varepsilon>0. Como \varepsilon>0, certamente 0<\varepsilon. Agora basta escolher qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1, ou \delta=\varepsilon, ou qualquer outro número positivo). Então, sempre que 0<|x-5|<\delta tivermos
|f(x)-15| = 0 < \varepsilon.
Portanto para o \delta escolhido a implicação da definição é satisfeita.

Passo 6

Conclusão formal. Vimos que para todo \varepsilon>0 existe um \delta>0 (na verdade muitos \delta servem) tal que 0<|x-5|<\delta implica |f(x)-15|<\varepsilon. Isso é exatamente a condição necessária e suficiente para afirmar que
\lim_{x\to 5} 15 = 15.
Comentário final amigável: em provas, para funções constantes esse é o padrão — a diferença é sempre zero, então qualquer escolha de \delta>0 funciona.

Resposta

\lim_{x \to 5} 15 = 15

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