Utilize a definição para provar que os limites existem:
a)
a)
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dão. O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
Informação dada: a função é a constante
para todo
. O ponto onde queremos o limite é
. A meta é mostrar, segundo a definição formal, que o limite existe e vale
.
Passo 2
Lembrando a definição
-
de limite (explicada passo a passo). Dizemos que
se, e somente se, para todo
existir
tal que, sempre que
, temos
.
O que cada símbolo significa:
-
é um número positivo arbitrário que representa o quão perto queremos que esteja de . -
é um número positivo que controla quão perto precisa estar de para garantir essa proximidade. - A condição
significa que estamos aproximando de , mas sem igualar exatamente (isso é o padrão na definição de limite).
Para provar o limite, devemos, dado qualquer
, fornecer um
(possivelmente dependente de
) que torne verdadeira a implicação acima.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso concreto. Aqui
e
. Calculemos a diferença que aparece na definição:
Essa é uma conta simples: o valor absoluto de zero.
Passo 4
Avaliação do resultado da conta. Temos
Observação importante: esse valor é exatamente
para qualquer
. Ou seja, independente de quão longe
esteja de
, a diferença
é sempre
.
Passo 5
Escolha de
e verificação da implicação. Tomemos qualquer
. Como
, certamente
. Agora basta escolher qualquer
(por exemplo
, ou
, ou qualquer outro número positivo). Então, sempre que
tivermos
Portanto para o
escolhido a implicação da definição é satisfeita.
Passo 6
Conclusão formal. Vimos que para todo
existe um
(na verdade muitos
servem) tal que
implica
. Isso é exatamente a condição necessária e suficiente para afirmar que
Comentário final amigável: em provas, para funções constantes esse é o padrão — a diferença é sempre zero, então qualquer escolha de
funciona.