Suponha que \Sigma a_{n} e \Sigma b_{n} sejam séries com termos positivos e que \Sigma b_{n} seja divergente.
Se a_{n}<b_{n} para todo n, o que você pode dizer sobre \sum a_{n} ? Por quê?

Passo 1

O enunciado diz que temos duas séries com termos positivos e uma desigualdade entre termos:
\sum a_{n}\quad\text{e}\quad\sum b_{n}
sendo os termos a_{n}>0 e b_{n}>0 para todo n, que \sum b_{n} é divergente, e que
a_{n}<b_{n}\quad\text{para todo }n.
A pergunta é: o que podemos concluir sobre \sum a_{n} e por quê? Ou seja, devemos decidir se \sum a_{n} necessariamente converge, necessariamente diverge, ou se nada definitivo pode ser afirmado — e justificar.

Passo 2

Vou lembrar um resultado clássico (forma direta do teste da comparação) que é útil aqui. Escrevo-o com calma para você decorar e poder usar na prova:
  • Teorema (teste da comparação, versão para convergência): se 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge.
Expliquei: a hipótese é que cada a_{n} está limitada por b_{n} e que a série maior (a de b_{n}) soma um número finito. Então a série com termos menores também não pode somar infinito — os somatórios parciais ficam majorados pelos somatórios parciais da série convergente.
Note que essa forma vai no sentido “se a maior converge, a menor converge”. Isso é muito usado em provas.

Passo 3

Agora observe o que temos no enunciado: \sum b_{n} é divergente e a_{n}<b_{n}. Compare isso com o teorema que acabei de lembrar. O teorema diz algo quando a série maior converge; aqui a série maior diverge, então a hipótese do teorema não se aplica. Ou seja, a informação “ a_{n} é menor que b_{n}” não nos permite, por si só, concluir que \sum a_{n} diverge. Em palavras informais: o fato de uma série maior divergir não obriga uma série com termos menores a divergir — ela pode tanto divergir como convergir, dependendo de quão menores são os termos.
Para ficar bem claro: do enunciado não decorre uma conclusão única sobre \sum a_{n}. Vou mostrar exemplos concretos dos dois comportamentos (convergência e divergência) para solidificar essa ideia.

Passo 4

Exemplo em que \sum a_{n} converge apesar de a_{n}<b_{n} e \sum b_{n} divergir.
Escolhemos
b_{n}=\frac{1}{n}\qquad\text{e}\qquad a_{n}=\frac{1}{n^{2}}.
Verificação da desigualdade: para todo n\ge 1,
\frac{1}{n^{2}}<\frac{1}{n},
portanto a_{n}<b_{n} para todo n. Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (a série harmônica) diverge. Também sabemos que a série p (p-series) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=2>1, então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge. Conclusão: neste exemplo \sum b_{n} diverge e \sum a_{n} converge, apesar de a_{n}<b_{n}.
(Se você não decorou a condição da p-series, pode justificar a convergência de \sum 1/n^{2} com o teste da integral ou com comparação com uma série conhecida; o fato é padrão e vale para a prova.)

Passo 5

Exemplo em que \sum a_{n} também diverge (mostrando que a outra possibilidade também ocorre).
Escolhemos
b_{n}=\frac{1}{n}\qquad\text{e}\qquad a_{n}=\frac{1}{2n}.
Verificação: para todo n\ge 1,
\frac{1}{2n}<\frac{1}{n},
portanto a_{n}<b_{n}. Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge; então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
também diverge (multiplicar uma série divergente por constante positiva continua divergente). Assim aqui \sum a_{n} diverge.

Passo 6

Interpretação prática para a prova: se na prova você tem uma série \sum b_{n} divergente e um candidato \sum a_{n} com a_{n}<b_{n}, não podes concluir nada só com isso — precisa buscar mais informação sobre a taxa de decaimento de a_{n}. Para provar que \sum a_{n} diverge usando comparação com \sum b_{n} divergente, uma estratégia eficaz é encontrar uma constante c>0 e outra série \sum c_{n} (ou relacionar com \sum b_{n}) tal que
a_{n}\ge c\cdot d_{n}
onde \sum d_{n} diverge; ou, mais simples, mostrar que existe c>0 tal que a_{n}\ge c\,b_{n} para todo n. Nesse caso,
\sum a_{n}\ge c\sum b_{n}=\infty,
logo \sum a_{n} diverge. Em resumo: para provar divergência por comparação, precisamos de uma desigualdade abaixo (lower bound) não de uma desigualdade acima.

Resposta

Não é possível afirmar: \sum a_{n} pode convergir ou pode divergir (dependendo de como a_{n} decai).

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