Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
seja divergente.
Se
para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos duas séries com termos positivos e uma desigualdade entre termos:
sendo os termos
e
para todo
, que
é divergente, e que
A pergunta é: o que podemos concluir sobre
e por quê? Ou seja, devemos decidir se
necessariamente converge, necessariamente diverge, ou se nada definitivo pode ser afirmado — e justificar.
Passo 2
Vou lembrar um resultado clássico (forma direta do teste da comparação) que é útil aqui. Escrevo-o com calma para você decorar e poder usar na prova:
- Teorema (teste da comparação, versão para convergência): se
para todo e converge, então também converge.
Expliquei: a hipótese é que cada
está limitada por
e que a série maior (a de
) soma um número finito. Então a série com termos menores também não pode somar infinito — os somatórios parciais ficam majorados pelos somatórios parciais da série convergente.
Note que essa forma vai no sentido “se a maior converge, a menor converge”. Isso é muito usado em provas.
Passo 3
Agora observe o que temos no enunciado:
é divergente e
. Compare isso com o teorema que acabei de lembrar. O teorema diz algo quando a série maior converge; aqui a série maior diverge, então a hipótese do teorema não se aplica. Ou seja, a informação “
é menor que
” não nos permite, por si só, concluir que
diverge. Em palavras informais: o fato de uma série maior divergir não obriga uma série com termos menores a divergir — ela pode tanto divergir como convergir, dependendo de quão menores são os termos.
Para ficar bem claro: do enunciado não decorre uma conclusão única sobre
. Vou mostrar exemplos concretos dos dois comportamentos (convergência e divergência) para solidificar essa ideia.
Passo 4
Exemplo em que
converge apesar de
e
divergir.
Escolhemos
Verificação da desigualdade: para todo
,
portanto
para todo
. Sabemos que
(a série harmônica) diverge. Também sabemos que a série p (p-series)
converge se, e somente se,
. Aqui
, então
converge. Conclusão: neste exemplo
diverge e
converge, apesar de
.
(Se você não decorou a condição da p-series, pode justificar a convergência de
com o teste da integral ou com comparação com uma série conhecida; o fato é padrão e vale para a prova.)
Passo 5
Exemplo em que
também diverge (mostrando que a outra possibilidade também ocorre).
Escolhemos
Verificação: para todo
,
portanto
. Sabemos que
diverge; então
também diverge (multiplicar uma série divergente por constante positiva continua divergente). Assim aqui
diverge.
Passo 6
Interpretação prática para a prova: se na prova você tem uma série
divergente e um candidato
com
, não podes concluir nada só com isso — precisa buscar mais informação sobre a taxa de decaimento de
. Para provar que
diverge usando comparação com
divergente, uma estratégia eficaz é encontrar uma constante
e outra série
(ou relacionar com
) tal que
onde
diverge; ou, mais simples, mostrar que existe
tal que
para todo
. Nesse caso,
logo
diverge. Em resumo: para provar divergência por comparação, precisamos de uma desigualdade abaixo (lower bound) não de uma desigualdade acima.
Resposta
Não é possível afirmar:
pode convergir ou pode divergir (dependendo de como
decai).