Utilize desenvolvimento em séries de MacLaurin para calcular os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(2 x^{2}\right)-e^{x^{4}}}{x \sin \left(x^{3}\right)}

Passo 1

O problema pede calcular o limite quando x \to 0 da expressão
\frac{\cos\left(2x^{2}\right)-e^{x^{4}}}{x\sin\left(x^{3}\right)}.
Dados importantes fornecidos pelo enunciado: a função no numerador é a diferença entre \cos de 2x^{2} e a exponencial de x^{4}; o denominador é x multiplicado por \sin de x^{3}. O ponto de interesse é x=0. Não há outros dados numéricos ou figuras.

Passo 2

Vamos usar séries de Maclaurin (expansões em torno de 0) para aproximar cada função por potências de x. Primeiro, lembro as expansões padrão e o que significam os termos (a ideia é: escrever cada função como soma infinita de potências de x; para limites, só precisamos dos primeiros termos não nulos).
As séries que usaremos são:
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2!} + \frac{t^{4}}{4!} + O(t^{6}),
e^{t} = 1 + t + \frac{t^{2}}{2!} + \frac{t^{3}}{3!} + O(t^{4}),
\sin t = t - \frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{5}}{5!} + O(t^{7}).
Explicando as notações: em cada fórmula, t é a variável da função; o símbolo O(t^{n}) representa termos de ordem igual ou superior a t^{n} (isto é, que são menores ou iguais a uma constante vezes t^{n} quando t\to0). Esses termos de ordem superior não vão alterar o limite se já encontramos o termo líder.

Passo 3

Agora substituímos t=2x^{2} na expansão de \cos t e t=x^{4} na expansão de e^{t}, porque no numerador temos \cos(2x^{2}) e e^{x^{4}}.
Para \cos(2x^{2}), usando \cos t = 1 - \dfrac{t^{2}}{2!} + \dfrac{t^{4}}{4!} + O(t^{6}) com t=2x^{2}:
\cos\left(2x^{2}\right) = 1 - \frac{(2x^{2})^{2}}{2} + \frac{(2x^{2})^{4}}{24} + O\big((2x^{2})^{6}\big).
Calculemos cada termo: (2x^{2})^{2}=4x^{4}, dividido por 2 2x^{4}. E (2x^{2})^{4}=16x^{8}, dividido por 24 \dfrac{16}{24}x^{8}=\dfrac{2}{3}x^{8}. Portanto:
\cos\left(2x^{2}\right) = 1 - 2x^{4} + \frac{2}{3}x^{8} + O(x^{12}).

Passo 4

Para e^{x^{4}}, usando e^{t}=1+t+\dfrac{t^{2}}{2}+O(t^{3}) com t=x^{4}:
e^{x^{4}} = 1 + x^{4} + \frac{x^{8}}{2} + O(x^{12}).
Aqui parei em x^{8} porque já é suficiente para comparar ordens com os termos que aparecem em \cos(2x^{2}).

Passo 5

Subtraímos as duas expansões para obter a expansão do numerador:
\cos\left(2x^{2}\right)-e^{x^{4}} = \big(1 - 2x^{4} + \frac{2}{3}x^{8} + O(x^{12})\big) - \big(1 + x^{4} + \frac{x^{8}}{2} + O(x^{12})\big).
Cancelando os 1 e agrupando termos:
\cos\left(2x^{2}\right)-e^{x^{4}} = -3x^{4} + \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)x^{8} + O(x^{12}).
Calculemos o coeficiente de x^{8}: \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{4-3}{6}=\dfrac{1}{6}. Assim:
\cos\left(2x^{2}\right)-e^{x^{4}} = -3x^{4} + \frac{1}{6}x^{8} + O(x^{12}).
O ponto importante aqui é identificar o termo de menor ordem não nulo: é -3x^{4}.

Passo 6

Agora expandimos o denominador x\sin(x^{3}). Use \sin t = t - \dfrac{t^{3}}{6} + O(t^{5}) com t=x^{3}:
\sin(x^{3}) = x^{3} - \frac{(x^{3})^{3}}{6} + O(x^{15}) = x^{3} - \frac{x^{9}}{6} + O(x^{15}).
Multiplicando por x:
x\sin(x^{3}) = x\left(x^{3} - \frac{x^{9}}{6} + O(x^{15})\right) = x^{4} - \frac{x^{10}}{6} + O(x^{16}).
Aqui o termo de menor ordem não nulo é x^{4}.

Passo 7

Agora façamos a divisão usando os termos dominantes de numerador e denominador. Temos:
\frac{\cos\left(2x^{2}\right)-e^{x^{4}}}{x\sin\left(x^{3}\right)} = \frac{-3x^{4} + \frac{1}{6}x^{8} + O(x^{12})}{x^{4} - \frac{x^{10}}{6} + O(x^{16})}.
Fatoramos x^{4} no numerador e no denominador:
= \frac{x^{4}\left(-3 + \frac{1}{6}x^{4} + O(x^{8})\right)}{x^{4}\left(1 - \frac{x^{6}}{6} + O(x^{12})\right)}.
Cancelamos x^{4} (válido para x\neq0, e estamos considerando o limite quando x\to0):
= \frac{-3 + \frac{1}{6}x^{4} + O(x^{8})}{1 - \frac{x^{6}}{6} + O(x^{12})}.

Passo 8

Para x\to0, os termos que contêm potências positivas de x tendem a zero, então a fração acima tende ao quociente dos termos constantes:
\lim_{x\to0}\frac{\cos\left(2x^{2}\right)-e^{x^{4}}}{x\sin\left(x^{3}\right)} = \frac{-3}{1} = -3.
Formalmente, a expansão mostra que as correções vão para zero mais rapidamente e não mudam o valor do limite.

Resposta

-3

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