Utilize desenvolvimento em séries de MacLaurin para calcular os seguintes limites.
Passo 1
O problema pede calcular o limite quando
da expressão
Dados importantes fornecidos pelo enunciado: a função no numerador é a diferença entre
de
e a exponencial de
; o denominador é
multiplicado por
de
. O ponto de interesse é
. Não há outros dados numéricos ou figuras.
Passo 2
Vamos usar séries de Maclaurin (expansões em torno de
) para aproximar cada função por potências de
. Primeiro, lembro as expansões padrão e o que significam os termos (a ideia é: escrever cada função como soma infinita de potências de
; para limites, só precisamos dos primeiros termos não nulos).
As séries que usaremos são:
Explicando as notações: em cada fórmula,
é a variável da função; o símbolo
representa termos de ordem igual ou superior a
(isto é, que são menores ou iguais a uma constante vezes
quando
). Esses termos de ordem superior não vão alterar o limite se já encontramos o termo líder.
Passo 3
Agora substituímos
na expansão de
e
na expansão de
, porque no numerador temos
e
.
Para
, usando
com
:
Calculemos cada termo:
, dividido por
dá
. E
, dividido por
dá
. Portanto:
Passo 4
Para
, usando
com
:
Aqui parei em
porque já é suficiente para comparar ordens com os termos que aparecem em
.
Passo 5
Subtraímos as duas expansões para obter a expansão do numerador:
Cancelando os
e agrupando termos:
Calculemos o coeficiente de
:
. Assim:
O ponto importante aqui é identificar o termo de menor ordem não nulo: é
.
Passo 6
Agora expandimos o denominador
. Use
com
:
Multiplicando por
:
Aqui o termo de menor ordem não nulo é
.
Passo 7
Agora façamos a divisão usando os termos dominantes de numerador e denominador. Temos:
Fatoramos
no numerador e no denominador:
Cancelamos
(válido para
, e estamos considerando o limite quando
):
Passo 8
Para
, os termos que contêm potências positivas de
tendem a zero, então a fração acima tende ao quociente dos termos constantes:
Formalmente, a expansão mostra que as correções vão para zero mais rapidamente e não mudam o valor do limite.