Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\

Passo 1

O enunciado pede que eu desenvolva em série de Maclaurin a função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • Preciso escrever a série de Maclaurin (isto é, a série em torno de x=0) que representa f(x).
  • Também é importante indicar o intervalo (ou raio) de convergência da série.

Passo 2

Lembra do teorema do binómio generalizado? Ele nos diz que, para um número real (ou complexo) \alpha e |u|<1,
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^{n},
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},
com \binom{\alpha}{0}=1. Aqui cada termo do produto no numerador tem n fatores, e n! está no denominador para normalizar. Essa série converge absolutamente para |u|<1.
No nosso caso podemos colocar 1-x^{2}=1+u com u=-x^{2}. Então, escolhendo \alpha=-\tfrac{1}{2}, obtemos
(1-x^{2})^{-1/2}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}(-x^{2})^{n}.
A tarefa agora é simplificar \binom{-\tfrac{1}{2}}{n}(-1)^{n} para uma forma mais conhecida.

Passo 3

Calculo explícito de \binom{-\tfrac{1}{2}}{n}. Pela definição:
\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}=\frac{\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(-\tfrac{1}{2}-1\right)\left(-\tfrac{1}{2}-2\right)\cdots\left(-\tfrac{1}{2}-(n-1)\right)}{n!}.
Escrevendo os fatores numeradores em forma de frações com denominador 2:
\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}=\frac{(-1)^{n}}{n!}\cdot\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{n}}.
Aqui usei que cada fator -\tfrac{1}{2}-k=-\dfrac{2k+1}{2} e extraí (-1)^{n} e 2^{n}.
Agora uso a identidade que relaciona o produto dos ímpares com o fatorial:
(2n)!=(1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1))\cdot(2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n)=(1\cdot 3\cdot\cdots(2n-1))\cdot 2^{n}n!.
Desse modo
1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}.
Substituindo na expressão de \binom{-\tfrac{1}{2}}{n},
\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}=(-1)^{n}\frac{(2n)!}{2^{n}n!\;2^{n}n!}=(-1)^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}.

Passo 4

Voltando à série com o fator (-x^{2})^{n}=(-1)^{n}x^{2n}, temos o produto
\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}(-x^{2})^{n}=(-1)^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\cdot(-1)^{n}x^{2n} =\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}x^{2n}.
Perceba que os sinais (-1)^{n} se cancelam. Portanto a série de Maclaurin fica
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\,x^{2n}.

Passo 5

Mostro os primeiros termos concretos para você enxergar o padrão (substituindo n=0,1,2,3):
\begin{aligned} n=0 &\Rightarrow \frac{(0)!}{4^{0}(0!)^{2}}x^{0}=1,\\[4pt] n=1 &\Rightarrow \frac{2!}{4^{1}(1!)^{2}}x^{2}=\frac{2}{4}x^{2}=\tfrac{1}{2}x^{2},\\[4pt] n=2 &\Rightarrow \frac{4!}{4^{2}(2!)^{2}}x^{4}=\frac{24}{16\cdot 4}x^{4}=\tfrac{3}{8}x^{4},\\[4pt] n=3 &\Rightarrow \frac{6!}{4^{3}(3!)^{2}}x^{6}=\frac{720}{64\cdot 36}x^{6}=\tfrac{5}{16}x^{6}. \end{aligned}
Logo a série começa
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=1+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{3}{8}x^{4}+\tfrac{5}{16}x^{6}+\cdots,
o que é coerente com a forma geral dada.]

Passo 6

Sobre convergência: a série do binómio generalizado converge para |u|<1. Aqui u=-x^{2}, então a condição é |x^{2}|<1, isto é |x|<1. Portanto o raio de convergência é R=1. Nos pontos x=\pm 1 a função tem singularidade (diverge), então a série não se estende de forma convergente nesses pontos.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}\,x^{2n},\qquad |x|<1.

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