Desenvolver em série de Maclaurin as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu desenvolva em série de Maclaurin a função
Informações dadas e objetivo:
- A função é
. - Preciso escrever a série de Maclaurin (isto é, a série em torno de
) que representa . - Também é importante indicar o intervalo (ou raio) de convergência da série.
Passo 2
Lembra do teorema do binómio generalizado? Ele nos diz que, para um número real (ou complexo)
e
,
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
com
. Aqui cada termo do produto no numerador tem
fatores, e
está no denominador para normalizar. Essa série converge absolutamente para
.
No nosso caso podemos colocar
com
. Então, escolhendo
, obtemos
A tarefa agora é simplificar
para uma forma mais conhecida.
Passo 3
Calculo explícito de
. Pela definição:
Escrevendo os fatores numeradores em forma de frações com denominador
:
Aqui usei que cada fator
e extraí
e
.
Agora uso a identidade que relaciona o produto dos ímpares com o fatorial:
Desse modo
Substituindo na expressão de
,
Passo 4
Voltando à série com o fator
, temos o produto
Perceba que os sinais
se cancelam. Portanto a série de Maclaurin fica
Passo 5
Mostro os primeiros termos concretos para você enxergar o padrão (substituindo
):
Logo a série começa
o que é coerente com a forma geral dada.]
Passo 6
Sobre convergência: a série do binómio generalizado converge para
. Aqui
, então a condição é
, isto é
. Portanto o raio de convergência é
. Nos pontos
a função tem singularidade (diverge), então a série não se estende de forma convergente nesses pontos.