Utilize a equação da Continuidade em coordenadas esféricas para obter a equação da vazão molar de soluto transferido para a fase fluida. Assuma que o raio da esfera permaneça constante. Posteriormente estime o tempo necessário para uma esfera de naftaleno reduzir o seu volume à metade mediante exposição ao ar atmosférico estagnado a
e 1 atm .
Dados:
Massa molar do naftaleno
Massa específica do naftaleno sólido
Diâmetro inicial da esfera
Pressão de vapor do naftaleno (mmHg):
com T em K.
Difusividade mássica do naftaleno em ar a 298 K e
.
Massa molar do naftaleno
Massa específica do naftaleno sólido
Diâmetro inicial da esfera
Pressão de vapor do naftaleno (mmHg):
Difusividade mássica do naftaleno em ar a 298 K e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Derivar, a partir da equação da Continuidade em coordenadas esféricas (assumindo raio da esfera constante), a expressão para a vazão molar de soluto que passa da superfície da esfera para a fase fluida (isto é,
, em mol/s). - Estimar numericamente o tempo necessário para que uma esfera de naftaleno veja seu volume reduzido à metade quando exposta ao ar estagnado a
e .
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Massa molar do naftaleno:
. - Massa específica (densidade) do naftaleno sólido:
. - Diâmetro inicial da esfera:
. - Equação da pressão de vapor (mmHg):
com em K. (Vou usar log base 10.) - Difusividade mássica do naftaleno em ar (a
, ): . (Vou assumir esse valor para por falta de correção fornecida.) - Condições ambientais:
, .
Perguntas claras:
- Obter a equação da vazão molar
saindo da esfera. - Estimar o tempo para volume reduzir à metade (usar os dados acima).
Passo 2
Apresento a equação da Continuidade em coordenadas esféricas e explico o significado de cada termo (foco no transporte radial de espécie):
Aqui:
-
é a concentração molar do vapor (mol/cm^{3}). -
é o fluxo molar radial (mol/(cm^{2}\cdot s)), positivo no sentido crescente de . -
é a coordenada radial.
Essa equação diz que a variação local de concentração no tempo é compensada pela divergência do fluxo radial multiplicada por. Vou usar essa equação como ponto de partida.
Passo 3
Simplificações físicas apropriadas para o problema (explico por que cada uma é razoável):
- Simetria esférica: o problema é radial puro, não depende de ângulos, então só há componente radial
. - Assumir que, para derivar a expressão da vazão, o campo é quasi-estacionário (ou seja, aceleração local desprezível) porque a difusão no gás ao redor é rápida comparada à variação lenta do raio. Com isso
.
Com a hipótese de regime estacionário a equação da Continuidade reduz-se a
Isso significa que
é constante em
.
Passo 4
Integro a equação reduzida para achar a forma do fluxo radial:
onde
é uma constante (dependente das condições de contorno). Portanto
Interpretando: o produto da área de uma esfera (
) pelo fluxo superficial
é proporcional a
, constante com
(conservação de mols em regime permanente).
Passo 5
Relaciono o fluxo
com o gradiente de concentração via Lei de Fick (explico a lei):
A Lei de Fick para difusão molecular (fluxo devido ao gradiente de concentração) é
A Lei de Fick para difusão molecular (fluxo devido ao gradiente de concentração) é
onde
é a difusividade mássica do vapor na mistura (unidades
). Substituindo
obtemos
Integro para obter
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Imponho condições de contorno físicas e determino
e
:
- Na superfície da esfera,
, a concentração do vapor é a de equilíbrio de vapor saturado: . - No infinito (ar vasto e limpo), muito longe da esfera, a concentração tende a
. Para ar “limpo” ou exposição inicial, costuma-se assumir (ou muito menor que ); usarei simbólico e depois .
Aplicando
dá
. Aplicando
dá
Logo o fluxo radial na superfície (em
) é
Passo 7
A vazão molar total
saindo da esfera é o fluxo superficial na superfície multiplicado pela área esférica:
Essa é a equação pedida: vazão molar por difusão esférica em regime estacionário (com raio constante). É intuitivo: proporcional ao raio
, à difusividade
e à diferença de concentração entre superfície e ambiente.
Passo 8
Relacionando concentração de vapor com pressão de vapor (Lei dos gases ideais) e simplificando hipóteses práticas:
- A concentração molar na superfície é obtida pela lei dos gases ideais:
onde
é a pressão de vapor do naftaleno na superfície (em atm se
usar unidades compatíveis),
é a constante dos gases e
a temperatura em K.
- No ar limpo
(assunção prática).
Portanto, na prática,
Passo 9
Agora passo ao problema do encolhimento da esfera: devo estimar o tempo para o volume reduzir à metade. Aqui uso a hipótese de “quase-estacionário” (em cada instante o campo de concentração ajusta-se rapidamente ao raio instantâneo), de modo que a fórmula acima vale instantaneamente para o raio
. Escrevo a conservação de massa da esfera:
- Massa da esfera:
. - Taxa de perda de massa pela evaporação:
, onde é a massa molar em e é em mol/s (o sinal negativo porque massa diminui).
Faço a relação explícita:
Derivando o lado esquerdo:
Cancelo
dos dois lados:
Isolo
:
Passo 10
Integro a equação diferencial para obter o tempo necessário para ir de
a
. Separando variáveis:
Integro de
a
e de
a
:
Reorganizando para
:
Para reduzir o volume à metade, temos
. Assim
. Logo
e portanto
Essa é a expressão prática que vou usar para calcular numericamente.
Passo 11
Agora calculo numericamente cada termo passo a passo (detalhando unidades e conversões):
- Temperatura:
. - Calcula
usando a fórmula dada (log base 10, em mmHg):
- Converto para atm:
- Converto pressão para concentração via a lei dos gases ideais. Uso
em : .
(Conferi unidades: atm/(cm^{3} atm/mol K × K) = mol/cm^{3}.)
5. Valores numéricos adicionais:
5. Valores numéricos adicionais:
-
(assumido constante). -
. -
. -
. -
(aprox.). -
.
- Calculo do tempo com a fórmula
Substituindo números:
Converter para unidades mais intuitivas:
Passo 12
Interpretação rápida e observações finais (empáticas e práticas):
- Resultado: cerca de
dias para reduzir o volume à metade sob as hipóteses feitas. - Principais hipóteses que controlam o resultado e que, se mudarem, alteram o tempo:
- Assumi
(ar muito limpo). Se houver já vapor na atmosfera, a velocidade cai. - Usei
à para ; aumenta com , então o tempo aqui pode ser um pouco menor na prática. - Assumi regime quasi-estacionário: o campo de concentração no gás reajusta-se rapidamente comparado à variação do raio; isso é razoável quando o tempo de ajuste do perfil é pequeno frente ao encolhimento.
- Assumi
- Resultado faz sentido físico: o naftaleno sublima/evapora devagar, então semanas de duração são plausíveis para uma esfera de 1 cm de diâmetro em ar estagnado.