Considerando uma Aleta cilíndrica (pin fin) de cobre ( \mathrm{k}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), com diâmetro \mathrm{D}=5 \mathrm{~mm}, comprimento \mathrm{L}=100 \mathrm{~mm}, \mathrm{~T}_{\mathrm{b}}=100^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K . Determine:
Extremidade Ativa:
Refaça o cálculo do calor dissipado considerando que a ponta da aleta também troca calor por convecção com o mesmo coeficiente h. Use a aproximação do comprimento corrigido ( \mathrm{L}_{\mathrm{c}} ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o calor dissipado por uma aleta cilíndrica (pin fin) de cobre quando a ponta da aleta também troca calor por convecção com o mesmo coeficiente h. Foi pedido para usar a aproximação do comprimento corrigido L_c.
Dados fornecidos (já convertidos para o SI):
  • condutividade térmica: k=400\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K},
  • diâmetro: D=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m},
  • comprimento da aleta: L=100\\ \mathrm{mm}=0,100\\ \mathrm{m},
  • temperatura na base: T_b=100^\circ\mathrm{C},
  • temperatura do fluido: T_\infty=20^\circ\mathrm{C},
  • coeficiente de convecção: h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
O que precisamos obter: o calor dissipado pela aleta (uma única aleta) considerando convecção também na ponta, usando a aproximação do comprimento corrigido L_c.

Passo 2

Breve aula-prática sobre o modelo de aleta cilíndrica e a aproximação usada.
  • A aleta cilíndrica é um corpo de seção constante circular. Para análises de aleta em regime estacionário, surge o parâmetro
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}},
onde:
  • P é o perímetro da seção transversal (para um cilindro de diâmetro D, P=\pi D),
  • A_c é a área da seção transversal (para cilindro A_c=\pi D^2/4),
  • k é a condutividade térmica e h o coeficiente de convecção.
  • Quando a ponta da aleta também troca calor por convecção, uma aproximação prática muito usada é estender o comprimento da aleta a um comprimento corrigido L_c e, em seguida, usar a fórmula da aleta com ponta isolada (adabática). Para a aleta cilíndrica a correção padrão é
L_c = L + \dfrac{D}{4}.
  • A expressão aproximada, usando o comprimento corrigido, para o calor dissipado por uma aleta de seção constante (trabalhando com a hipótese de condutividade e h constantes) é
Q = m k A_c\,(T_b-T_\infty)\,\operatorname{tanh}\bigl(m L_c\bigr).
Explicação das partes da fórmula:
  • m k A_c tem dimensão de \mathrm{W}/\mathrm{K} e é uma “constante” que multiplica a diferença de temperatura (T_b-T_\infty),
  • \operatorname{tanh}(m L_c) aparece da solução da EDO da aleta e quantifica quanto da aleta é efetivamente utilizada para transferência de calor (tendendo a 1 para aletas longas).

Passo 3

Calcule P e A_c (peguei D do enunciado):
P=\pi D=\pi\cdot 0,005\\ \mathrm{m} \approx 0,01570796\\ \mathrm{m},
A_c=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi (0,005)^2}{4}=\pi\cdot 6{,}25\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2\approx 1{,}9634954\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcule m. Usando a expressão adaptada para cilindro, fica mais simples notar que, com P=\pi D e A_c=\pi D^2/4,
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}=\sqrt{\dfrac{4h}{kD}}.
Substituindo os valores:
m=\sqrt{\dfrac{4\cdot 10}{400\cdot 0,005}}=\sqrt{20}\approx 4{,}472135955\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 5

Calcule o comprimento corrigido L_c (usei a fórmula indicada para cilindro):
L_c = L + \dfrac{D}{4}=0,100 + \dfrac{0,005}{4}=0,100 + 0,00125=0,10125\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Prepare os termos da fórmula de fluxo térmico. Primeiro calcule k A_c e em seguida m k A_c (veja que m k A_c=\sqrt{hPkA_c}, é a mesma constante vista antes):
kA_c = 400\cdot 1{,}9634954\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2 \approx 0{,}0078539816\\ \mathrm{W}/\mathrm{K}.
m\,kA_c \approx 4{,}472135955 \times 0{,}0078539816 \approx 0{,}0351140119\\ \mathrm{W}/\mathrm{K}.
Agora calcule o argumento da função hiperbólica:
mL_c \approx 4{,}472135955 \times 0{,}10125 \approx 0{,}452803765.
Calcule a função hiperbólica tangente:
\operatorname{tanh}(mL_c)\approx \operatorname{tanh}(0{,}452803765)\approx 0{,}424\\ \text{(adimensional)}.

Passo 7

Escreva a expressão final do calor e deixe pronto para a avaliação numérica final:
Q = m k A_c\,(T_b-T_\infty)\,\operatorname{tanh}(mL_c).
Temos já:
m k A_c \approx 0{,}0351140119\\ \mathrm{W}/\mathrm{K}, \qquad (T_b-T_\infty)=100-20=80\\ \mathrm{K}, \qquad \operatorname{tanh}(mL_c)\approx 0{,}424.
Multiplicando estes fatores obtém-se o calor total dissipado pela aleta (resultado numérico final abaixo).

Resposta

Q \approx 1,19\\ \mathrm{W}

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