Considerando uma Aleta cilíndrica (pin fin) de cobre ( \mathrm{k}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), com diâmetro \mathrm{D}=5 \mathrm{~mm}, comprimento \mathrm{L}=100 \mathrm{~mm}, \mathrm{~T}_{\mathrm{b}}=100^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K . Determine:
Temperatura Conhecida na Extremidade:
Se a extremidade da aleta estiver conectada a um segundo componente mantido a 50^{\circ} \mathrm{C}, determine o fluxo de calor na base da aleta.

Passo 1

O enunciado dá uma aleta cilíndrica (pin fin) de cobre com as seguintes informações:
  • condutividade térmica: k=400\\ \mathrm{W/(m\cdot K)};
  • diâmetro: D=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m};
  • comprimento: L=100\\ \mathrm{mm}=0,1\\ \mathrm{m};
  • temperatura na base: T_b=100^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C};
  • coeficiente de convecção na superfície lateral: h=10\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    O enunciado pede: quando a extremidade da aleta está mantida em T(L)=50^\circ\mathrm{C} (temperatura conhecida na extremidade), determine o fluxo de calor na base da aleta (ou seja, a taxa de calor que sai pela base da aleta, normalmente em watts).

Passo 2

Modelagem física e definição das quantidades usadas:
  • Vamos usar o modelo clássico de aleta cilíndrica de seção constante, regime estacionário, 1D ao longo do eixo x (de x=0 na base até x=L na ponta), com convecção na superfície lateral.
  • Definimos a excess temperature \theta(x)=T(x)-T_\infty. Então \theta(0)=T_b-T_\infty e \theta(L)=T(L)-T_\infty.
  • Para uma barra circular com perímetro molhado P e área da seção transversal A_c: P=\pi D,\qquad A_c=\frac{\pi D^2}{4}.
  • O parâmetro m que aparece na equação de aleta é m^2=\frac{hP}{kA_c}=\frac{h\pi D}{k\left(\pi D^2/4\right)}=\frac{4h}{kD}.
  • O fluxo de calor na base (potência retirada através da base) é dado por q_b=-kA_c\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=-kA_c\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=0}.
Essas são as fórmulas que vamos usar.

Passo 3

Equação diferencial e solução geral:
  • A equação de balanço para aleta de seção constante é \frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0.
  • A solução geral é \theta(x)=A\operatorname{cosh}(mx)+B\operatorname{sinh}(mx),onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.
  • As condições de contorno aqui são: \theta(0)=\theta_0=T_b-T_\infty, \qquad \theta(L)=\theta_L=T(L)-T_\infty.
  • Usando \theta(0)=A=\theta_0. Então \theta_L=\theta_0\operatorname{cosh}(mL)+B\operatorname{sinh}(mL)\quad\Rightarrow\quad B=\frac{\theta_L-\theta_0\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{sinh}(mL)}.
  • Derivando \theta: \frac{d\theta}{dx}=mA\operatorname{sinh}(mx)+mB\operatorname{cosh}(mx).Em x=0: \left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=0}=mB.
  • Portanto o fluxo na base fica q_b=-kA_c\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=0}=-kA_c m B =-kA_c m\frac{\theta_L-\theta_0\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{sinh}(mL)}.Podemos arrumar o sinal para obter uma forma positiva (tomando o fluxo saindo da base como positivo): q_b = kA_c m\frac{\theta_0\operatorname{cosh}(mL)-\theta_L}{\operatorname{sinh}(mL)}.Essa expressão dá a potência (em watts) retirada pela aleta na base, com \theta_0=T_b-T_\infty e \theta_L=T(L)-T_\infty.

Passo 4

Calcular todos os termos numéricos passo a passo:
  • Excess temperatures: \theta_0=T_b-T_\infty=100-20=80\\ (\mathrm{K}), \qquad \theta_L=T(L)-T_\infty=50-20=30\\ (\mathrm{K}).
  • Área da seção transversal: A_c=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0,005)^2}{4} =\pi\cdot6{,}25\times10^{-6}\approx1{,}9635\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  • Parâmetro m: m=\sqrt{\frac{4h}{kD}}=\sqrt{\frac{4\cdot10}{400\cdot0,005}} =\sqrt{\frac{40}{2}}=\sqrt{20}\approx4{,}472135955\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Produto mL: mL\approx4{,}472136\times0{,}1=0{,}4472136.Como mL é pequeno, podemos calcular \operatorname{cosh}(mL) e \operatorname{sinh}(mL) usando e^{x} (expansão) ou diretamente:
    calcular e^{0{,}4472136} por série (mantendo termos até x^4 dá boa precisão): e^{x}\approx1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}.Com x=0{,}4472136 tem-se x^2\approx0{,}2, x^3\approx0{,}08944, x^4\approx0{,}0400. Assim e^{0{,}4472}\approx1+0{,}4472136+0{,}1+0{,}014907+0{,}001667\approx1{,}5638.Logo e^{-0{,}4472}\approx0{,}6396. Assim \operatorname{cosh}(mL)=\frac{e^{mL}+e^{-mL}}{2}\approx\frac{1{,}5638+0{,}6396}{2}\approx1{,}1017,
\operatorname{sinh}(mL)=\frac{e^{mL}-e^{-mL}}{2}\approx\frac{1{,}5638-0{,}6396}{2}\approx0{,}4621.
(esses valores estão arredondados, boa precisão para cálculo manual.)
  • Calcular kA_c m: kA_c m = 400\cdot(1{,}9635\times10^{-5})\cdot4{,}472136Primeiro 400\cdot1{,}9635\times10^{-5}=7{,}854\times10^{-3}.
    Então kA_c m\approx7{,}854\times10^{-3}\cdot4{,}472136\approx0{,}03512\\ \mathrm{W/K}.
  • Agora calcule o fator \dfrac{\theta_0\operatorname{cosh}(mL)-\theta_L}{\operatorname{sinh}(mL)}: \theta_0\operatorname{cosh}(mL)-\theta_L=80\cdot1{,}1017-30\approx88{,}136-30=58{,}136.
\frac{58{,}136}{0{,}4621}\approx125{,}77\\ (\mathrm{K}).
  • Finalmente, o fluxo na base: q_b = kA_c m\frac{\theta_0\operatorname{cosh}(mL)-\theta_L}{\operatorname{sinh}(mL)} \approx0{,}03512\cdot125{,}77\approx4{,}42\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida:
  • O resultado q_b\approx4{,}42\\ \mathrm{W} representa a taxa de calor que sai da base da aleta para o fluido (ou seja, a aleta retira cerca de 4{,}42\\ \mathrm{W} do corpo ao qual está conectada, transportando esse calor pela aleta e cedendo-o por convecção na superfície lateral).
  • Ordem de grandeza faz sentido: a aleta é curta e de pequeno diâmetro, convecção razoavelmente fraca ( h=10), logo algumas poucas watts são esperadas.

Resposta

q_b\approx4{,}42\\ \mathrm{W}

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