Considerando uma Aleta cilíndrica (pin fin) de cobre (
), com diâmetro
, comprimento
e
. K . Determine:
Temperatura Conhecida na Extremidade:
Se a extremidade da aleta estiver conectada a um segundo componente mantido a
, determine o fluxo de calor na base da aleta.
Temperatura Conhecida na Extremidade:
Passo 1
O enunciado dá uma aleta cilíndrica (pin fin) de cobre com as seguintes informações:
- condutividade térmica:
; - diâmetro:
; - comprimento:
; - temperatura na base:
; - temperatura do ambiente:
; - coeficiente de convecção na superfície lateral:
.
O enunciado pede: quando a extremidade da aleta está mantida em(temperatura conhecida na extremidade), determine o fluxo de calor na base da aleta (ou seja, a taxa de calor que sai pela base da aleta, normalmente em watts).
Passo 2
Modelagem física e definição das quantidades usadas:
- Vamos usar o modelo clássico de aleta cilíndrica de seção constante, regime estacionário, 1D ao longo do eixo
(de na base até na ponta), com convecção na superfície lateral. - Definimos a excess temperature
. Então e . - Para uma barra circular com perímetro molhado
e área da seção transversal : - O parâmetro
que aparece na equação de aleta é - O fluxo de calor na base (potência retirada através da base) é dado por
Essas são as fórmulas que vamos usar.
Passo 3
Equação diferencial e solução geral:
- A equação de balanço para aleta de seção constante é
- A solução geral é
onde e são constantes a determinar pelas condições de contorno. - As condições de contorno aqui são:
- Usando
. Então - Derivando
: Em : - Portanto o fluxo na base fica
Podemos arrumar o sinal para obter uma forma positiva (tomando o fluxo saindo da base como positivo): Essa expressão dá a potência (em watts) retirada pela aleta na base, com e .
Passo 4
Calcular todos os termos numéricos passo a passo:
- Excess temperatures:
- Área da seção transversal:
- Parâmetro
: - Produto
: Como é pequeno, podemos calcular e usando (expansão) ou diretamente:
calcular por série (mantendo termos até dá boa precisão): Com tem-se , , . Assim Logo . Assim
(esses valores estão arredondados, boa precisão para cálculo manual.)
- Calcular
: Primeiro .
Então - Agora calcule o fator
:
- Finalmente, o fluxo na base:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida:
- O resultado
representa a taxa de calor que sai da base da aleta para o fluido (ou seja, a aleta retira cerca de do corpo ao qual está conectada, transportando esse calor pela aleta e cedendo-o por convecção na superfície lateral). - Ordem de grandeza faz sentido: a aleta é curta e de pequeno diâmetro, convecção razoavelmente fraca (
), logo algumas poucas watts são esperadas.