Utilize as equações para derivada implícita parcial para determinar partial zpartial x e partial zpartial y.
1x+1y+1z-1=0, em(2,3,6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a derivada implícita parcial. A gente vai trabalhar com a equação no ponto . Para isso, vamos precisar derivar a equação em relação a e depois em relação a , tratando como uma função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação a -1x^2 + 0 - 1z^2 cdot partial zpartial x = 0 . Quando derivamos, tratamos como uma constante porque estamos fazendo uma derivada parcial em relação a . A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é zero, já que é constante. Agora, para , como depende de , usamos a regra da cadeia: a derivada é . A derivada de uma constante, como o 1, é zero. Então, temos:

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para isolar -1z^2 cdot partial zpartial x = 1x^2 . Primeiro, movemos partial zpartial x = -z^2 cdot 1x^2 = -z^2x^2 para o outro lado:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para derivar a equação em relação a 0 - 1y^2 - 1z^2 cdot partial zpartial y = 0 . Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é zero.
  • A derivada de em relação a é .
  • Para , usamos novamente a regra da cadeia: .
  • A derivada do 1 é zero.
Então, temos:

Passo 5

Vamos reorganizar essa equação para encontrar -1z^2 cdot partial zpartial y = 1y^2 . Primeiro, movemos partial zpartial y = -z^2 cdot 1y^2 = -z^2y^2 para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial zpartial x = -364 = -9 são:
partial zpartial y = -369 = -4

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