Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
07) \left|x^{2}-4\right|-2|x-1|

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o módulo da expressão
\left|x^{2}-4\right|-2|x-1|
usando estudo de sinais. O conteúdo aqui é análise de sinais de x^{2}-4 e de x-1 para reescrever cada módulo sem as barras.

Passo 2

Encontramos os zeros das expressões dentro dos módulos:
x^{2}-4=0 x=\pm2.
x-1=0 x=1.
Isso define quatro regiões no eixo real:
  1. x< -2
  2. -2\le x<1
  3. 1\le x<2
  4. x\ge2

Passo 3

Na região x< -2:
x^{2}-4>0,\quad x-1<0
Logo
|x^{2}-4|=x^{2}-4,\quad |x-1|=-(x-1)
e a expressão vira
x^{2}-4 \;-\;2\bigl[-(x-1)\bigr] = x^{2}-4 +2(x-1) = x^{2}+2x-6.

Passo 4

Na região -2\le x<1:
x^{2}-4<0,\quad x-1<0
Logo
|x^{2}-4|=4-x^{2},\quad |x-1|=-(x-1)
e a expressão vira
4-x^{2} \;-\;2\bigl[-(x-1)\bigr] = 4-x^{2}+2(x-1) = -x^{2}+2x+2.

Passo 5

Na região 1\le x<2:
x^{2}-4<0,\quad x-1\ge0
Logo
|x^{2}-4|=4-x^{2},\quad |x-1|=x-1
e a expressão vira
4-x^{2} \;-\;2(x-1) = 4-x^{2}-2x+2 = -x^{2}-2x+6.

Passo 6

Na região x\ge2:
x^{2}-4\ge0,\quad x-1\ge0
Logo
|x^{2}-4|=x^{2}-4,\quad |x-1|=x-1
e a expressão vira
x^{2}-4 \;-\;2(x-1) = x^{2}-4-2x+2 = x^{2}-2x-2.

Resposta

\left|x^{2}-4\right|-2|x-1| = \begin{cases} x^{2}+2x-6, & x< -2,\\\\ -x^{2}+2x+2, & -2\le x<1,\\\\ -x^{2}-2x+6, & 1\le x<2,\\\ x^{2}-2x-2, & x\ge2. \end{cases}

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