Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
08) \left|x^{2}+2 x-15\right|-|5 x-2|
Passo 1
O enunciado pede para eliminar o símbolo de módulo da expressão \bigl|x^{2}+2x-15\bigr| - \lvert5x-2\rvert
usando estudo de sinais. O conteúdo principal é análise de sinais de uma expressão quadrática e de uma linear, e vamos precisar encontrar os zeros de x^{2}+2x-15 e de 5x-2 para particionar o domínio.
Passo 2
Encontramos os zeros de cada parte:
o polinômio \,x^{2}+2x-15 fatora como (x+5)(x-3), logo suas raízes são x=-5 e x=3.
a expressão linear 5x-2 zera em x=\tfrac{2}{5}.
Isso nos dá os intervalos (-\infty,-5), [-5,\tfrac{2}{5}), [\tfrac{2}{5},3) e [3,\infty).
Passo 3
Determinamos o sinal de cada parte em cada intervalo:
Para x< -5: \,x^{2}+2x-15>0 e 5x-2<0.
Para -5\le x< \tfrac{2}{5}: \,x^{2}+2x-15<0 e 5x-2<0.
Para \tfrac{2}{5}\le x<3: \,x^{2}+2x-15<0 e 5x-2>0.
Para x\ge3: \,x^{2}+2x-15>0 e 5x-2>0.
Passo 4
Em cada intervalo substituímos \bigl|x^{2}+2x-15\bigr| por x^{2}+2x-15 ou -x^{2}-2x+15,
e \lvert5x-2\rvert por 5x-2 ou -5x+2, conforme o sinal, e simplificamos: