Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
08) \left|x^{2}+2 x-15\right|-|5 x-2|

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o símbolo de módulo da expressão \bigl|x^{2}+2x-15\bigr| - \lvert5x-2\rvert
usando estudo de sinais. O conteúdo principal é análise de sinais de uma expressão quadrática e de uma linear, e vamos precisar encontrar os zeros de x^{2}+2x-15 e de 5x-2 para particionar o domínio.

Passo 2

Encontramos os zeros de cada parte:
o polinômio \,x^{2}+2x-15 fatora como (x+5)(x-3), logo suas raízes são x=-5 e x=3.
a expressão linear 5x-2 zera em x=\tfrac{2}{5}.
Isso nos dá os intervalos (-\infty,-5), [-5,\tfrac{2}{5}), [\tfrac{2}{5},3) e [3,\infty).

Passo 3

Determinamos o sinal de cada parte em cada intervalo:
Para x< -5: \,x^{2}+2x-15>0 e 5x-2<0.
Para -5\le x< \tfrac{2}{5}: \,x^{2}+2x-15<0 e 5x-2<0.
Para \tfrac{2}{5}\le x<3: \,x^{2}+2x-15<0 e 5x-2>0.
Para x\ge3: \,x^{2}+2x-15>0 e 5x-2>0.

Passo 4

Em cada intervalo substituímos \bigl|x^{2}+2x-15\bigr| por x^{2}+2x-15 ou -x^{2}-2x+15,
e \lvert5x-2\rvert por 5x-2 ou -5x+2, conforme o sinal, e simplificamos:
Para x< -5:
(x^{2}+2x-15)\;-\;(-5x+2) \;=\;x^{2}+7x-17.
Para -5\le x< \tfrac{2}{5}:
(-x^{2}-2x+15)\;-\;(-5x+2) \;=\;-x^{2}+3x+13.
Para \tfrac{2}{5}\le x<3:
(-x^{2}-2x+15)\;-\;(5x-2) \;=\;-x^{2}-7x+17.
Para x\ge3:
(x^{2}+2x-15)\;-\;(5x-2) \;=\;x^{2}-3x-13.

Resposta

\bigl|x^{2}+2x-15\bigr| - \lvert5x-2\rvert = \begin{cases} x^{2}+7x-17, & x< -5,\\\\ -x^{2}+3x+13, & -5\le x<\tfrac{2}{5},\\\\ -x^{2}-7x+17, & \tfrac{2}{5}\le x<3,\\\ x^{2}-3x-13, & x\ge3. \end{cases}

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